广东省广州市荔湾区高三数学上学期第二次调研试卷 文（含解析）.doc

2015-2016学年广东省广州市荔湾区高三（上）第二次调研数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合m=0，1，2，n=x|x23x+20，则mn=（）a1b2c0，1d1，22若复数z=（a2a）ai为纯虚数，则实数a等于（）a0b1c1d0或13已知平面向量=（1，2），=（4，m），且，则向量53=（）a（7，16）b（7，34）c（7，4）d（7，14）4已知命题p：对任意xr，总有|x|0；命题q：x=2是方程x+2=0的根则下列命题为真命题的是（）apqbpqcpqdpq5如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（）a2015b1cd26当双曲线c不是等轴双曲线时，我们把以双曲线c的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线c的“伴生椭圆”则离心率为的双曲线的“伴生椭圆”的离心率为（）abcd7随机地从区间0，1任取两数，分别记为x、y，则x2+y21的概率p=（）abcd18用与球心距离为2的平面去截球，所得的截面面积为，则球的表面积为（）ab20c12d1009如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）a4b8c16d2010已知数列an的前n项和为sn，且sn=（an1），则满足不等式an2n+16的最小正整数n的值为（）a12b14c16d1711已知函数f（x）=acos（x+）的图象如图所示，f（）=，则f（0）=（）abcd12已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）kx+k只有一个零点，则k的取值范围是（）a（，1）（1，+）b（1，1）c0，1d（，10，1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13设等差数列an的前n项和为sn，已知s10=100，则a2+a9=14已知点p为抛物线c：x2=y上的一点，f为抛物线c的焦点，若|pf|=1，则点p的纵坐标为15已知奇函数f（x）在定义域（3，3）上是减函数，且满足f（2x1）+f（1）0，则x的取值范围为16在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界），若目标函数 z=x+ay取得最小值的最优解有无数个，则的最大值是三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）17在abc中，角a，b，c所对的三边分别为a，b，c，b=，且b=3，a=2（1）求sin2a；（2）求abc的面积18如图，正三棱柱abca1b1c1中，底面边长为2，侧棱长为，d为a1c1中点（）求证；bc1平面ab1d；（）三棱锥bab1d的体积19为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表：平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖常喝不常喝合计肥胖2不肥胖18合计30已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由；（3）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中（2名女生），抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？参考数据：p（k2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：k2=，其中n=a+b+c=d）20已知椭圆c： +=1（ab0）的焦距为2，且过点a（，）（）求椭圆的方程；（）已知l：y=kx1，是否存在k使得点a关于l的对称点b（不同于点a）在椭圆c上？若存在求出此时直线l的方程，若不存在说明理由21已知函数f（x）=lnx+，其中a为常数，且a0（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线y=x+1垂直，求a的值；（2）求函数f（x）在区间1，2上的最小值【选修4-1：几何证明选讲】22如图，圆o的直径ab=8，圆周上过点c的切线与ba的延长线交于点e，过点b作ac的平行线交ec的延长线于点p（）求证：be2=cepe（）若ec=2，求pb的长【选修4-4：坐标系与参数方程】23（2015秋松山区校级月考）在直角坐标系xoy中，直线l经过点p（2，1），且倾斜角为45，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c的极坐标方程是sin22cos=0，直线l与曲线c在第一、四象限分别交于a、b两点（1）写出直线l的参数方程，曲线c的普通方程；（2）求|ap|：|bp|的值【选修4-5：不等式选讲】24（2015固原校级模拟）已知函数f（x）=|2x+1|x|2（）解不等式f（x）0（）若存在实数x，使得f（x）|x|+a，求实数a的取值范围2015-2016学年广东省广州市荔湾区高三（上）第二次调研数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合m=0，1，2，n=x|x23x+20，则mn=（）a1b2c0，1d1，2【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】求出集合n的元素，利用集合的基本运算即可得到结论【解答】解：n=x|x23x+20=x|（x1）（x2）0=x|1x2，mn=1，2，故选：d【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础2若复数z=（a2a）ai为纯虚数，则实数a等于（）a0b1c1d0或1【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】方程思想；转化思想；定义法；数系的扩充和复数【分析】利用纯虚数的定义、方程的解法即可得出【解答】解：复数z=（a2a）ai为纯虚数，解得a=1故选：b【点评】本题考查了纯虚数的定义、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3已知平面向量=（1，2），=（4，m），且，则向量53=（）a（7，16）b（7，34）c（7，4）d（7，14）【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【专题】平面向量及应用【分析】利用向量垂直与数量积的关系即可得出【解答】解：，解得m=2，=（5，10）（12，6）=（7，16）故选a【点评】熟练掌握向量垂直与数量积的关系是解题的关键4已知命题p：对任意xr，总有|x|0；命题q：x=2是方程x+2=0的根则下列命题为真命题的是（）apqbpqcpqdpq【考点】复合命题的真假【专题】函数思想；定义法；简易逻辑【分析】判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可【解答】解：命题p：对任意xr，总有|x|0为真命题，命题q：x=2是方程x+2=0的根为假命题，则pq为真命题，其余为假命题，故选：a【点评】本题主要考查复合命题真假关系的判断，判断命题p，q的真假是解决本题的关键5如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（）a2015b1cd2【考点】程序框图【专题】对应思想；试验法；算法和程序框图【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出该循环中s的值是以3为周期的，计算出k=2014时s的值即可【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；s=2，k=0，s=1；k=1，s=；k=2，s=2；k=3，；所以，该循环中s的值是以3为周期的，且k=2014=3671+1时，s=，k=2015时，终止循环，输出s=故选：c【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，是基础题目6当双曲线c不是等轴双曲线时，我们把以双曲线c的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线c的“伴生椭圆”则离心率为的双曲线的“伴生椭圆”的离心率为（）abcd【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据双曲线、椭圆的离心率计算公式计算即得结论【解答】解：设双曲线c的方程为=1，则e=，b2=2a2，双曲线c的“伴生椭圆”方程为： +=1，“伴生椭圆”的离心率为=，故选：d【点评】本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题7随机地从区间0，1任取两数，分别记为x、y，则x2+y21的概率p=（）abcd1【考点】几何概型【专题】数形结合；数形结合法；概率与统计【分析】在平面直角坐标系中作出图形，则x，y0，1的平面区域为边长为1的正方形，符合条件x2+y21的区域为以原点为圆心，1为半径的扇形内部，则扇形面积与正方形面积的比为概率【解答】解：在平面直角坐标系中作出图形，如图所示，则x，y0，1的平面区域为边长为1的正方形oabc，符合条件x2+y21的区域为以原点为圆心，1为半径的扇形oac内部，p（x2+y21）=故选：c【点评】本题考查了几何概型的概率计算，正确作出几何图形是解题的关键8用与球心距离为2的平面去截球，所得的截面面积为，则球的表面积为（）ab20c12d100【考点】球的体积和表面积【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何【分析】求出小圆的半径，然后利用球心到该截面的距离为2m，小圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求出球的表面积【解答】解：用一平面去截球所得截面的面积为，所以小圆的半径为：1；已知球心到该截面的距离为2，所以球的半径为： =所以表面积为45=20故选：b【点评】本题是基础题，考查球的小圆的半径，球心到该截面的距离，球的半径之间的关系，满足勾股定理，考查计算能力9如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）a4b8c16d20【考点】由三视图求面积、体积【专题】空间位置关系与距离【分析】通过三视图苹果几何体的形状，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可【解答】解：三视图的几何体是四棱锥，底面的边长为2、6的矩形，四棱锥的顶点在底面的射影落在矩形的长边的一个三等份点，由三视图的数据可知，几何体的高是4，所以几何体的体积为：624=16故选c【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查学生的视图能力，空间想象能力与计算能力10已知数列an的前n项和为sn，且sn=（an1），则满足不等式an2n+16的最小正整数n的值为（）a12b14c16d17【考点】数列的求和【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用【分析】利用递推关系、等比数列的通项公式可得an，再利用指数函数的单调性即可得出【解答】解：sn=（an1），当n=1时，解得a1=4当n2时，sn1=，可得an=，化为：an=4an1数列an是等比数列，首项为4，公比为4an=4n不等式an2n+16化为：22n2n+16，2nn+16，解得n16满足不等式an2n+16的最小正整数n的值为17故选：d【点评】本题考查了递推关系、等比数列的通项公式、指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11已知函数f（x）=acos（x+）的图象如图所示，f（）=，则f（0）=（）abcd【考点】由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式；三角函数的周期性及其求法【专题】计算题【分析】求出函数的周期，确定的值，利用f（）=，得asin=，利用f（）=0，求出（acos+asin）=0，然后求f（0）【解答】解：由题意可知，此函数的周期t=2（）=，故=，=3，f（x）=acos（3x+）f（）=acos（+）=asin=又由题图可知f（）=acos（3+）=acos（）=（acos+asin）=0，f（0）=acos=故选c【点评】本题考查由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式，三角函数的周期性及其求法，考查视图能力，计算能力，是基础题12已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）kx+k只有一个零点，则k的取值范围是（）a（，1）（1，+）b（1，1）c0，1d（，10，1【考点】函数零点的判定定理【专题】函数的性质及应用【分析】由题意可得函数y=f（x）的图象和直线y=k（x1）只有一个交点，数形结合求得k的范围【解答】解：由题意可得函数y=f（x）的图象（红线部分）和直线y=k（x1）（蓝线部分）只有一个交点直线y=k（x1）经过定点（1，0），斜率为k当 0x1时，f（x）=1，当x1时，f（x）=1，0），如图所示：故 k（，10，1，故选：d【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13设等差数列an的前n项和为sn，已知s10=100，则a2+a9=20【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】由题意可得a1+a10=20，再由等差数列的性质可得a2+a9=a1+a10=20【解答】解：由题意和等差数列的求和公式可得s10=5（a1+a10）=100，a1+a10=20，由等差数列的性质可得a2+a9=a1+a10=20，故答案为：20【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题14已知点p为抛物线c：x2=y上的一点，f为抛物线c的焦点，若|pf|=1，则点p的纵坐标为【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由已知可得p点到抛物线c：x2=y的准线y=的距离也为1，即y+=1，解得答案【解答】解：|pf|=1，p点到抛物线c：x2=y的准线y=的距离也为1，即y+=1，解得：y=，故答案为：【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，熟练掌握抛物线的性质，是解答的关键15已知奇函数f（x）在定义域（3，3）上是减函数，且满足f（2x1）+f（1）0，则x的取值范围为（0，2）【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化进行求解即可【解答】解：奇函数f（x）在定义域（3，3）上是减函数，不等式f（2x1）+f（1）0等价为f（2x1）f（1）=f（1），则不等式等价为，即，即0x2，即不等式的解集为（0，2），故答案为：（0，2）【点评】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键16在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界），若目标函数 z=x+ay取得最小值的最优解有无数个，则的最大值是【考点】简单线性规划【专题】压轴题；数形结合【分析】由题设条件，目标函数z=x+ay，取得最小值的最优解有无数个值取得最优解必在边界上而不是在顶点上，故目标函数中系数必为负，最小值应在左上方边界ac上取到，即x+ay=0应与直线ac平行，进而计算可得a值，最后结合目标函数的几何意义求出答案即可【解答】解：由题意，最优解应在线段ac上取到，故x+ay=0应与直线ac平行kac=，=1，a=1，则=表示点p（1，0）与可行域内的点q（x，y）连线的斜率，由图得，当q（x，y）=c（4，2）时，其取得最大值，最大值是=故答案为：【点评】本题考查线性规划最优解的判定，属于该知识的逆用题型，利用最优解的特征，判断出最优解的位置求参数，属于基础题三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）17在abc中，角a，b，c所对的三边分别为a，b，c，b=，且b=3，a=2（1）求sin2a；（2）求abc的面积【考点】余弦定理【专题】计算题；解三角形【分析】（1）由已知及正弦定理可求得sina=，利用大边对大角可得a为锐角，从而可求cosa=，利用倍角公式即可得解；（2）由余弦定理可求得c的值，根据三角形面积公式即可得解【解答】解：（1）b=，且b=3，a=2由正弦定理可得：sina=b=3a=2a为锐角，cosa=，sin2a=2sinacosa=2=（2）b=，且b=3，a=2由余弦定理可得：b2=a2+c22accosb，可得：27=4+c22c，整理可解得：c=1+2sabc=acsinb=【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，大边对大角等知识的应用，属于基本知识的考查18如图，正三棱柱abca1b1c1中，底面边长为2，侧棱长为，d为a1c1中点（）求证；bc1平面ab1d；（）三棱锥bab1d的体积【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】空间位置关系与距离【分析】（）连结a1b与ab1交于e，与偶三角形的中位线的性质可得bc1de，再根据直线和平面平行的判定定理，证明bc1平面ab1d（）过点d作dha1b1，利用平面和平面垂直的性质可得dh平面abb1a1 ，dh为三棱锥dabb1的高，求出和de的值，再根据，运算求得结果【解答】解：（）连结a1b与ab1交于e，连结de，则e为a1b的中点，故de为a1bc1的中位线，bc1de又de平面ab1d，bc1平面ab1d，bc1平面ab1d（6分）（）过点d作dha1b1，正三棱柱abca1b1c1，aa1平面a1b1c1，aa1dh，aa1a1b1=a1，dh平面abb1a1dh为三棱锥dabb1的高（8分），（10分）且，（12分）【点评】本题主要考查证明直线和平面平行的判定定理的应用，平面和平面垂直的性质，求棱锥的体积，属于中档题19为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表：平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖常喝不常喝合计肥胖2不肥胖18合计30已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由；（3）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中（2名女生），抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？参考数据：p（k2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：k2=，其中n=a+b+c=d）【考点】独立性检验的应用【专题】计算题；概率与统计【分析】（1）根据全部50人中随机抽取1人看营养说明的学生的概率为，做出看营养说明的人数，这样用总人数减去看营养说明的人数，剩下的是不看的，根据所给的另外两个数字，填上所有数字（2）根据列联表所给的数据，代入求观测值的公式，把观测值同临界值进行比较，得到有99.5%的把握说看营养说明与性别有关（3）利用列举法，求出基本事件的个数，即可求出正好抽到一男一女的概率【解答】解：（1）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人，x=6常喝不常喝合计肥胖628不胖41822合计102030（3分）（2）由已知数据可求得：k2=8.5227.879，因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关（7分）（3）设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为a、b、c、d，女生为e、f，则任取两人有ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15种其中一男一女有ae，af，be，bf，ce，cf，de，df故抽出一男一女的概率是p=（12分）【点评】本题考查画出列联表，考查等可能事件的概率，考查独立性检验，在求观测值时，要注意数字的代入和运算不要出错20已知椭圆c： +=1（ab0）的焦距为2，且过点a（，）（）求椭圆的方程；（）已知l：y=kx1，是否存在k使得点a关于l的对称点b（不同于点a）在椭圆c上？若存在求出此时直线l的方程，若不存在说明理由【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）通过椭圆的焦距求出c，利用a、b、c的关系以及点的坐标适合椭圆方程，求出a，b，即可求椭圆的方程；（）法1：当k=0时，验证点不在椭圆上；当k0时，可设直线，代入利用韦达定理，以及对称综上，说明不存在k满足条件法2：设ab：x=ky+m，代入椭圆方程利用韦达定理，以及对称知识，说明k=1，导出对称点b与点a重合，不合题意，不存在k满足条件法3：由l：y=kx1可知直线l恒过点p（0，1），设点a关于l的对称点b坐标为（x0，y0），利用|pa|=|pb|，求出与a关于x=0对称，不存在k满足条件【解答】解：（）椭圆c： +=1（ab0）的焦距为2，c=，则a2b2=2，椭圆过点a（，），解可得a2=3，b2=1，椭圆的方程：（）法1：当k=0时，直线l：y=1，点不在椭圆上；当k0时，可设直线，即2x+2ky3k=0代入整理得（4k2+12）y24k（k+3）y+（k+3）212=0因为，所以若a，b关于直线l对称，则其中点在直线y=kx1上所以，解得k=1因为此时点在直线l上，所以对称点b与点a重合，不合题意所以不存在k满足条件法2：设ab：x=ky+m，代入椭圆方程化简得（k2+3）y22kmy+m23=0，所以若a，b关于直线l对称，则其中点在直线y=kx1上，所以，即2km=k2+3又在直线ab：x=ky+m上，所以2mk=3，消m得（3+k）k=k2+3，所以k=1因为此时点在直线l上，所以对称点b与点a重合，不合题意，所以不存在k满足条件法3：由l：y=kx1可知直线l恒过点p（0，1），设点a关于l的对称点b坐标为（x0，y0），因为点a，b关于l对称，所以|pa|=|pb|所以又b在椭圆上，所以联立解得或因为与a点重合，舍，因为与a关于x=0对称所以不存在k满足条件【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的对称关系的应用，考查直线与圆锥曲线的位置关系21已知函数f（x）=lnx+，其中a为常数，且a0（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线y=x+1垂直，求a的值；（2）求函数f（x）在区间1，2上的最小值【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值【专题】分类讨论；分类法；导数的概念及应用；导数的综合应用【分析】（1）求出函数的导数，求得切线的斜率，结合两直线垂直的条件，解方程可得a=3；（2）对a讨论，当0a1时，当1a2时，当a2时，判断导数的符号，得到单调性，即可得到最小值【解答】解：（1）f（x）的导数为f（x）=（x0），因为曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线y=x+1垂直，所以f（1）=2，即1a=2，解得a=3； （2）当0a1时，f（x）0在（1，2）上恒成立，这时f（x）在1，2上为增函数，f（x）min=f（1）=a1； 当1a2时，由f（x）=0得，x=a（1，2），对于x（1，a）有f（x）0，f（x）在1，a上为减函数，对于x（a，2）有f（x）0，f（x）在a，2上为增函数，f（x）min=f（a）=lna； 当a2时，f（x）0在（1，2）上恒成立，这时f（x）在1，2上为减函数，f（x）min=f（2）=ln2+1 综上所述f（x）min=【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查函数的最值的求法，注意运用分类讨论的思想方法，结合函数的单调性，属于中档题【选修4-1：几何证明选讲】22如图，圆o的直径ab=8，圆周上过点c的切线与ba的延长线交于点e，过点b作ac的平行线交ec的延长线于点p（）求证：be2=cepe（）若ec=2，求pb的长【考点】与圆有关的比例线段【专题】计算题；证明题；选作题；转化思想；综合法；推理和证明【分析】（）证明：becpeb，即可证明be2=cepe（）证明acecbe，求出ac，由，可求pb的长【解答】（）证明：acbp，ace=p （1分）ce是圆o的切线，ace=cbe，cbe=p （2分）bep=ceb，becpeb （3分），be2=cepe（4分）（）解：ec为圆o的切线，ec=2，ab=8，（5分）ec2=eaeb=ea（ea+ab），ea=2 （6分）eca=abc，acecbe，