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第三章空间向量与立体几何 3 1 3空间向量的数量积运算 在三棱锥O ABC中 点M是 ABC的重心 求证 1 空间向量共线定理 若 则点P A B共线的充要条件是x y 1 2 空间向量共面定理 对空间任一点O和不共线三点A B C 若 则点P在平面ABC内的充要条件是x y z 1 若向量不共线 则向量与共面的充要条件是 存在惟一的有序实数对 x y 使 3 利用空间向量共线定理和共面定理 可以解决立体几何中的共点 共线 共面和平行等问题 这是一种向量方法 1 数量积的定义 规定 1 两向量的数量积是一个数量 注意 数量积的几何意义 数量积的运算律 交换律 结合律 分配律 数量积的性质 3 设a b都是非零向量 则 判断垂直的又一条件 求模的方法 特别地 求角的方法 例题讲解 例1用向量方法证明三垂线定理 平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线垂直 例2 用向量方法证明直线和平面垂直的判定定理 已知m n是平面 内的两条相交直线 直线l m l n 求证 l 课堂练习 解 3 已知线段AB BD在平面内 BD AB 线段AC 如果AB a BD b AC c 求C D间的距离 第4题 第3题 妙 6 已知线段 在平面内 线段如果 求 之间的距离 解 小结作业 1 由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量 所以空间向量的数量积运算与平面向量的数量积运算的理论体系完全一样 2 对于空间线线垂直 线面垂直问题可以转化为向量的数量积为零来处理 同时 利用向量的数量积
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