2013年高考理科数学全国新课标卷1(附答案).pdf

第 1 页 共 1 页 2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 全国卷 I 新课标 注意事项 1 本试题分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 第 卷1 至 3 页 第 卷3 至 5 页 2 答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在本试题相应的位置 3 全部答案在答题卡上完成 答在本试题上无效 4 考试结束后 将本试题和答题卡一并交回 第 卷 一 选择题 本大题共12 小题 每小题5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要 求的 1 2013 课标全国 理1 已知集合 A x x 2 2x 0 B x 5 x 5 则 A A B B A B R C BAD AB 答案 B 解析 x x 2 0 x 0 或 x 2 集合 A 与 B 可用图象表示为 由图象可以看出A B R 故选 B 2 2013 课标全国 理2 若复数 z 满足 3 4i z 4 3i 则 z 的虚部为 A 4 B 4 5 C 4 D 4 5 答案 D 解析 3 4i z 4 3i 55 34i 34 i 34i 34i 34i 55 z 故 z 的虚部为 4 5 选 D 3 2013 课标全国 理3 为了解某地区的中小学生的视力情况 拟从该地区的中小学生中抽取部分学生 进行调查 事先已了解到该地区小学 初中 高中三个学段学生的视力情况有较大差异 而男女生视力情 况差异不大 在下面的抽样方法中 最合理的抽样方法是 A 简单随机抽样B 按性别分层抽样 C 按学段分层抽样D 系统抽样 答案 C 解析 因为学段层次差异较大 所以在不同学段中抽取宜用分层抽样 4 2013 课标全国 理4 已知双曲线C 22 22 1 xy ab a 0 b 0 的离心率为 5 2 则 C 的渐近线方程 为 A y 1 4 xB y 1 3 x C y 1 2 xD y x 答案 C 解析 5 2 c e a 222 2 22 5 4 cab e aa 第 2 页 共 2 页 a 2 4b2 1 2 b a 渐近线方程为 1 2 b yxx a 5 2013 课标全国 理5 执行下面的程序框图 如果输入的t 1 3 则输出的s 属于 A 3 4 B 5 2 C 4 3 D 2 5 答案 A 解析 若 t 1 1 则执行s 3t 故 s 3 3 若 t 1 3 则执行s 4t t 2 其对称轴为 t 2 故当 t 2 时 s 取得最大值4 当 t 1 或 3 时 s 取得最小值3 则 s 3 4 综上可知 输出的s 3 4 故选 A 6 2013 课标全国 理6 如图 有一个水平放置的透明无盖的正方体容器 容器高8 cm 将一个球放在 容器口 再向容器内注水 当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm 如果不计容器的厚度 则球的体积为 A 500 3 cm 3 B 866 3 cm 3 C 1372 3 cm 3 D 2048 3 cm 3 答案 A 解析 设球半径为R 由题可知R R 2 正方体棱长一半可构成直角三角形 即 OBA 为直角三角 形 如图 第 3 页 共 3 页 BC 2 BA 4 OB R 2 OA R 由 R2 R 2 2 42 得 R 5 所以球的体积为 34500 5 33 cm 3 故选 A 7 2013 课标全国 理 7 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 Sm 1 2 Sm 0 Sm 1 3 则 m A 3 B 4 C 5 D 6 答案 C 解析 S m 1 2 Sm 0 Sm 1 3 am Sm Sm 1 0 2 2 am 1 Sm 1 Sm 3 0 3 d am 1 am 3 2 1 Sm ma1 1 2 m m 1 0 1 1 2 m a 又 am 1 a1 m 1 3 1 3 2 m m m 5 故选 C 8 2013 课标全国 理8 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A 16 8 B 8 8 C 16 16 D 8 16 答案 A 解析 由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体 由图中数据可知圆柱底面半径r 2 长为 4 在长方体中 长为4 宽为 2 高为 2 所以几何体的体积为 r2 4 1 2 4 2 2 8 16 故选 A 9 2013 课标全国 理9 设 m 为正整数 x y 2m 展开式的二项式系数的最大值为a x y 2m 1 展开式 的二项式系数的最大值为b 若 13a 7b 则 m A 5 B 6 C 7 D 8 答案 B 解析 由题意可知 a 2 C m m b 21 C m m 又 13a 7b 2 21 13 7 1 mm m mm m 第 4 页 共 4 页 即 1321 71 m m 解得 m 6 故选 B 10 2013 课标全国 理10 已知椭圆E 22 22 1 xy ab a b 0 的右焦点为F 3 0 过点 F 的直线交E 于 A B 两点 若AB 的中点坐标为 1 1 则 E 的方程为 A 22 1 4536 xy B 22 1 3627 xy C 22 1 2718 xy D 22 1 189 xy 答案 D 解析 设 A x1 y1 B x2 y2 A B 在椭圆上 22 11 22 22 22 22 1 1 xy ab xy ab 得 12121212 22 0 xxxxyyyy ab 即 2 1212 2 1212 yyyyb axxxx AB 的中点为 1 1 y1 y2 2 x1 x2 2 而 12 12 yy xx kAB 011 312 2 2 1 2 b a 又 a2 b2 9 a2 18 b2 9 椭圆 E 的方程为 22 1 189 xy 故选 D 11 2013 课标全国 理11 已知函数f x 2 20 ln 1 0 xxx xx 若 f x ax 则 a 的取值范围是 A 0 B 1 C 2 1 D 2 0 答案 D 解析 由 y f x 的图象知 当 x 0 时 y ax 只有 a 0 时 才能满足 f x ax 可排除B C 当 x 0 时 y f x x2 2x x2 2x 故由 f x ax 得 x 2 2x ax 当 x 0 时 不等式为0 0 成立 当 x 0 时 不等式等价于x 2 a x 2 2 a 2 综上可知 a 2 0 12 2013 课标全国 理 12 设 AnBnCn的三边长分别为 an bn cn AnBnCn的面积为Sn n 1 2 3 第 5 页 共 5 页 若 b1 c1 b1 c1 2a1 an 1 an bn 1 2 nn ca cn 1 2 nn ba 则 A Sn 为递减数列 B Sn 为递增数列 C S2n 1 为递增数列 S2n 为递减数列 D S2n 1 为递减数列 S2n 为递增数列 答案 B 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每个试题考生都必须做答 第 22 题 第 24 题为选考题 考生根据要求做答 二 填空题 本大题共4 小题 每小题5 分 13 2013 课标全国 理13 已知两个单位向量a b 的夹角为60 c ta 1 t b 若 b c 0 则t 答案 2 解析 c ta 1 t b b c ta b 1 t b 2 又 a b 1 且 a 与 b 夹角为 60 b c 0 t a b cos 60 1 t 0 1 2 t 1 t t 2 14 2013 课标全国 理 14 若数列 an 的前 n 项和 21 33 nn Sa 则 an 的通项公式是an 答案 2 n 1 解析 21 33 nn Sa 当 n 2 时 11 21 33 nn Sa 得 1 22 33 nnn aaa 即 1 n n a a 2 a1 S1 1 21 33 a a1 1 an 是以 1 为首项 2 为公比的等比数列 an 2 n 1 15 2013 课标全国 理15 设当 x 时 函数f x sin x 2cos x 取得最大值 则cos 答案 2 5 5 解析 f x sin x 2cos x 12 5sincos 55 xx 令 cos 1 5 sin 2 5 则 f x 5sin x 当 x 2k 2 k Z 时 sin x 有最大值1 f x 有最大值5 第 6 页 共 6 页 即 2k 2 k Z 所以 cos cos 2 2 k cos 2 sin 22 5 55 16 2013 课标全国 理16 若函数 f x 1 x 2 x2 ax b 的图像关于直线 x 2 对称 则f x 的最大 值为 答案 16 解析 函数 f x 的图像关于直线x 2 对称 f x 满足 f 0 f 4 f 1 f 3 即 15 164 08 93 bab ab 解得 8 15 a b f x x4 8x3 14x2 8x 15 由 f x 4x3 24x2 28x 8 0 得 x1 2 5 x2 2 x3 2 5 易知 f x 在 2 5 上为增函数 在 2 5 2 上为减函数 在 2 2 5 上为 增函数 在 2 5 上为减函数 f 2 5 1 2 5 2 2 5 2 8 2 5 15 8 4 5 8 4 5 80 64 16 f 2 1 2 2 2 2 8 2 15 3 4 16 15 9 f 2 5 1 2 5 2 2 5 2 8 2 5 15 8 4 5 8 4 5 80 64 16 故 f x 的最大值为16 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 2013 课标全国 理17 本小题满分12 分 如图 在 ABC 中 ABC 90 AB 3 BC 1 P 为 ABC 内一点 BPC 90 1 若 PB 1 2 求 PA 2 若 APB 150 求 tan PBA 解 1 由已知得 PBC 60 所以 PBA 30 在 PBA 中 由余弦定理得PA2 117 323cos 30 424 故 PA 7 2 2 设 PBA 由已知得PB sin 第 7 页 共 7 页 在 PBA 中 由正弦定理得 3sin sin150sin 30 化简得3cos 4sin 所以 tan 3 4 即 tan PBA 3 4 18 2013 课标全国 理18 本小题满分12 分 如图 三棱柱ABC A1B1C1中 CA CB AB AA1 BAA1 60 1 证明 AB A1C 2 若平面 ABC 平面 AA1B1B AB CB 求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值 1 证明 取 AB 的中点 O 连结 OC OA1 A1B 因为 CA CB 所以 OC AB 由于 AB AA1 BAA1 60 故 AA1B 为等边三角形 所以 OA1 AB 因为 OC OA1 O 所以 AB 平面 OA1C 又 A1C 平面 OA1C 故 AB A1C 2 解 由 1 知 OC AB OA1 AB 又平面 ABC 平面 AA1B1B 交线为 AB 所以 OC 平面 AA1B1B 故 OA OA1 OC 两两相互垂直 以 O 为坐标原点 OA的方向为x 轴的正方向 OA 为单位长 建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz 由题设知A 1 0 0 A1 0 3 0 C 0 0 3 B 1 0 0 则BC 1 0 3 1 BB 1 AA 1 3 0 1 AC 0 3 3 设 n x y z 是平面 BB1C1C 的法向量 则 1 0 0 BC BB n n 即 30 30 xz xy 可取 n 3 1 1 故 cos n 1 AC 1 1 AC AC n n 10 5 所以 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 10 5 19 2013 课标全国 理 19 本小题满分12 分 一批产品需要进行质量检验 检验方案是 先从这批产品 第 8 页 共 8 页 中任取 4 件作检验 这4 件产品中优质品的件数记为n 如果 n 3 再从这批产品中任取4 件作检验 若都 为优质品 则这批产品通过检验 如果n 4 再从这批产品中任取1 件作检验 若为优质品 则这批产品 通过检验 其他情况下 这批产品都不能通过检验 假设这批产品的优质品率为50 即取出的每件产品是优质品的概率都为 1 2 且各件产品是否为优质 品相互独立 1 求这批产品通过检验的概率 2 已知每件产品的检验费用为100 元 且抽取的每件产品都需要检验 对这批产品作质量检验所需的 费用记为 X 单位 元 求 X 的分布列及数学期望 解 1 设第一次取出的4件产品中恰有3 件优质品为事件A1 第一次取出的4 件产品全是优质品为事 件 A2 第二次取出的4 件产品都是优质品为事件B1 第二次取出的1 件产品是优质品为事件B2 这批产 品通过检验为事件A 依题意有A A1B1 A2B2 且 A1B1与 A2B2互斥 所以 P A P A1B1 P A2B2 P A1 P B1 A1 P A2 P B2 A2 41113 161616264 2 X 可能的取值为400 500 800 并且 P X 400 4111 1 161616 P X 500 1 16 P X 800 1 4 所以 X 的分布列为 X 400500800 P 11 16 1 16 1 4 EX 1111 400 500 800 16164 506 25 20 2013 课标全国 理20 本小题满分12 分 已知圆 M x 1 2 y2 1 圆 N x 1 2 y2 9 动圆 P 与圆 M 外切并且与圆N 内切 圆心P 的轨迹为曲线C 1 求 C 的方程 2 l 是与圆 P 圆 M 都相切的一条直线 l 与曲线 C 交于 A B 两点 当圆P 的半径最长时 求 AB 解 由已知得圆M 的圆心为M 1 0 半径 r1 1 圆 N 的圆心为N 1 0 半径 r2 3 设圆 P 的圆心为 P x y 半径为R 1 因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆N 内切 所以 PM PN R r1 r2 R r1 r2 4 由椭圆的定义可知 曲线C 是以 M N 为左 右焦点 长半轴长为2 短半轴长为 3的椭圆 左顶点 除外 其方程为 22 1 43 xy x 2 2 对于曲线C 上任意一点P x y 由于 PM PN 2R 2 2 所以 R 2 当且仅当圆P 的圆心为 2 0 时 R 2 所以当圆P 的半径最长时 其方程为 x 2 2 y2 4 若 l 的倾斜角为90 则 l 与 y 轴重合 可得 AB 2 3 若 l 的倾斜角不为90 由 r1 R 知 l 不平行于x 轴 设 l 与 x 轴的交点为Q 则 1 QPR QMr 可求得 Q 4 0 所以可设l y k x 4 由 l 与圆 M 相切得 2 3 1 1 k k 解得 k 2 4 第 9 页 共 9 页 当 k 2 4 时 将 2 2 4 yx代入 22 1 43 xy 并整理得7x 2 8x 8 0 解得 x1 2 46 2 7 所以 AB 2 21 18 1 7 kxx 当 2 4 k时 由图形的对称性可知 AB 18 7 综上 AB 2 3或 AB 18 7 21 2013 课标全国 理21 本小题满分12 分 设函数 f x x 2 ax b g x ex cx d 若曲线 y f x 和曲线 y g x 都过点 P 0 2 且在点 P 处有相同的切线y 4x 2 1 求 a b c d 的值 2 若 x 2时 f x kg x 求 k 的取值范围 解 1 由已知得 f 0 2 g 0 2 f 0 4 g 0 4 而 f x 2x a g x e x cx d c 故 b 2 d 2 a 4 d c 4 从而 a 4 b 2 c 2 d 2 2 由 1 知 f x x 2 4x 2 g x 2ex x 1 设函数 F x kg x f x 2ke x x 1 x2 4x 2 则 F x 2ke x x 2 2x 4 2 x 2 kex 1 由题设可得F 0 0 即 k 1 令 F x 0 得 x1 ln k x2 2 若 1 k e 2 则 2 x 1 0 从而当 x 2 x1 时 F x 0 当 x x1 时 F x 0 即 F x 在 2 x1 单调递减 在 x1 单调递增 故 F x 在 2 的最小值为F x1 而 F x1 2x1 2 2 1 x 4x1 2 x1 x1 2 0 故当 x 2 时 F x 0 即 f x kg x 恒成立 若 k e2 则 F x 2e2 x 2 ex e 2 从而当 x 2 时 F x 0 即 F x 在 2 单调递增 而 F 2 0 故当 x 2 时 F x 0 即 f x kg x 恒成立 若 k e 2 则 F 2 2ke 2 2 2e 2 k e2 0 从而当 x 2 时 f x kg x 不可能恒成立 综上 k 的取值范围是 1 e 2 请考生在第 22 23 24 三题中任选一题做答 注意 只能做所选定的题目 如果多做 则按所做 的第一个题目计分 做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22 2013 课标全国 理 22 本小题满分10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 直线AB 为圆的切线 切点为B 点 C 在圆上 ABC 的角平分线BE 交圆于点E DB 垂直 BE 交圆于点D 1 证明 DB DC 2 设圆的半径为1 BC 3 延长 CE 交 AB 于点 F 求 BCF 外接圆的半径 1 证明 连结 DE 交 BC 于点 G 第 10 页 共 10 页 由弦切角定理得 ABE BCE 而 ABE CBE 故 CBE BCE BE CE 又因为 DB BE 所以 DE 为直径 DCE 90 由勾股定理可得DB DC 2 解 由 1 知 CDE BDE DB DC 故 DG 是 BC 的中垂线 所以BG 3 2 设 DE 的中点为O 连结 BO 则 BOG 60 从而 ABE BCE CBE 30 所以 CF BF 故 Rt BCF 外接圆的半径等于