高数辅导讲义4.doc

最新下载(NewD) 中国最大、最专业的学习资料下载站 转载请保留本信息第三章 一元函数积分学31 不定积分甲 内容要点一基本概念与性质 1原函数与不定积分的概念 设函数和在区间上有定义，若在区间上成立，则称为在区间上的原函数，在区间中的全体原函数称为在区间的不定积分，记以。其中称为积分号，称为积分变量，称为被积函数，称为被积表达式。 2不定积分的性质 设，其中为的一个原函数，为任意常数。 则（1） 或 （2） 或 （3） （4） 3原函数的存在性 设在区间上连续，则在区间上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数。例如，等。被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。二基本积分公式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 三换元积分法和分部积分法 1第一换元积分法（凑微分法） 设，又可导，则 这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如流”，也就是非常熟练地凑出微分。 常用的几种凑微分形式： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） （14） （15） （16） （17） （18） （19） （20） 2第二换元积分法 设可导，且，若， 则 其中为的反函数。 第二换元积分法绝大多数用于根式的被积函数，通过换元把根式去掉，其常见的变量替换分为两大类： 第一类：被积函数是与或与或由构成的代数式的根式，例如等。 只要令根式，解出已经不再有根式，那么就作这种变量替换即可。 第二类：被积函数含有，如果仍令解出仍是根号，那么这样变量替换不行，要作特殊处理，将时先化为，时，先化为然后再作下列三种三角替换之一：根式的形式所作替换三角形示意图（求反函数用） 值得注意：如果既能用上述第二换元积分法，又可以用第一换元积分法，那么一般用第一换元积分法比较简单。 例1 例2 例3 3分部积分法 设，均有连续的导数，则 或 使用分部积分法时被积函数中谁看作谁看作有一定规律。 （1），情形，为次多项式，为常数，要进行次分部积分法，每次均取，为；多项式部分为。 （2），情形，为次多项式取为，而，为，用分部积分法一次，被积函数的形式发生变化，再考虑其它方法。 （3），情形，进行二次分部积分法后要移项，合并。 （4）比较复杂的被积函数使用分部积分法，要用凑微分法，使尽量多的因子和凑成。乙 典型例题一直接积分法 所谓直接积分法就是用代数或三角恒等式，并用积分的性质和基本积分公式能直接求出不定积分，它要求初等数学有关公式很熟练。 例1求 解：原式 例2求下列不定积分 （1） （2） （3） （4） 例3求 例4求下列不定积分 （1） （2） 例5求下列不定积分 （1） （2） （3） （4） 分析：三角函数中的倍角公式 ， 在不定积分的计算中常可起到简化计算的作用。上述四个题都是用倍角公式进行化简，再用基本积分公式积分。二第一换元积分法 例1求下列不定积分 （1） （2） （3） （4） 解：（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 令，； 令，； 令，。 因此，原式 例2求下列不定积分 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 例3求下列不定积分： （1） （2） （3） （4） 分析：这四个题中均含有，而，因而可以用凑微分的方法积分。 例4求下列不定积分 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 例5求下列不定积分 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解： （6）解一： 解二： 例6求下列不定积分 （1） （2） （3） （4） 例7求下列不定积分 （1） （2） 三第二换元积分法 例1求 解： 例2求下列不定积分 （1） （2） （3） （4） （5） 解：（5）解一： （这里已设） 解二：倒代换 原式 例3求下列不定积分 （1） （2） （3） （4） 解：（1）解一：令，则 解二： （注：；） 四分部积分法（有时还用了换元积分法） 例1求下列不定积分 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 例2求下列不定积分 （1） （） （2） （3） （4） 解：（1） （） （2）解一： 解二：令，则 （3） （4） 例4求下列不定积分 （1） （2） （3） 32 定积分和广义积分的概念与计算方法甲 内容要点一定积分的概念与性质 1定积分的定义 在上的定积分为 （如果极限存在） 其中为上任一点；任意划分为个小区间 ； 如果在上有定积分，则称在上可积。 上的连续函数或只有有限个第一类间断点的函数都是可积函数。 2定积分的几何意义 设函数在上连续，定积分在几何上表示曲线和直线以及轴围成各部分面积的代数和，在轴上方取正号，在轴下方取负号。 3定积分的性质 （1） （2） （3） （4）（也可以在之外） （5）设，则 （6）设，则 （7）设，则 （8）定积分中值定理 设在上连续，则存在，使 定义：我们称为在上的积分平均值 （9）奇偶函数的积分性质 （奇函数） （偶函数） （10）周期函数的积分性质 设以为周期，为常数，则 二基本定理 1变上限积分的函数 定义：设在上可积，则，称为变上限积分的函数 定理：（1）若在上可积，则在上连续 （2）若在上连续，则在上可导，且 推广形式：设，可导，连续， 则 2牛顿一莱布尼兹公式 设在上可积，为在上任意一个原函数， 则有 （注：若在上连续，可以很容易地用上面变上限积分的方法来证明；若在上可积，牛顿一莱布尼兹公式仍成立，但证明方法就很复杂）三定积分的换元积分法和分部积分法 1定积分的换元积分法 设在上连续，若变量替换满足 （1）在（或）上连续； （2），且当时，则 2定积分的分部积分法 设在上连续，则或四广义积分 定积分的积分区间是有限区间，又在上是有界的，如果积分区间推广到无穷区间或推广到无界函数，就是两种不同类型的广义积分。 1无穷区间上的广义积分 （1）概念 定义： 若极限存在，则称广义积分是收敛的，它的值就是极限值；若极限不存在，则称广义积分。是发散的，而发散的广义积分没有值的概念。 同样有收敛和发散的概念，收敛的广义积分有值的概念。 同样有收敛和发散的概念，收敛的广义积分有值的概念，值得注意：判断的收敛性不能用的极限存在性，必须要求和两个广义积分都收敛，才能知道是收敛的。但是如果已经知道是收敛的，而求它的值，那么计算是可以的。 （2）常用公式 2无界函数的广义积分（瑕积分） （1）概念： 设在内连续，且，则称为的瑕点。 定义 若极限存在，则称广义积分收敛，且它的值就是极限值；若极限不存在，则称广义积分发散，发散的广义积分没有值的概念。 设在内连续，且，则称为的瑕点。 定义 若极限存在，则称广义积分收敛，且它的值就是极限值。 若极限不存在，则称广义积分发散，它没有值。 设在和皆连续，且，则称为的瑕点。 定义 （值得注意：这里判别收敛性时，和要独立地取极限，不能都用来代替） 若上面两个极限都存在时才称广义积分是收敛的，否则广义积分发散。 （2）常用公式： 类似地考虑和 最后指出：由于广义积分是变限积分的极限，因此原则上由定积分的运算法则和极限的运算法则就可以得到广义积分运算法则。乙 典型例题用常规方法计算定积分 例1计算下列定积分 （1） （2） （3） （4）（收敛的广义积分） （5） （6）（收敛的广义积分） 解：（1） （2） （3）令，时；时， 于是 （4）令， 于是 （5） （6）令，则 例2计算下列定积分（分段函数） （1） （2） （3） （4） （5） （6） 33 定积分的应用甲 内容要点一平面图形的面积 1直角坐标系 模型I 其中， 模型II 其中， 注：复杂图形分割为若干个小图形，使其中每一个符合模型I或模型II加以计算，然后再相加。 2构坐标系 模型I 模型II 3参数形式表出的曲线所围成的面积 设曲线的参数方程，在（或）上有连续导数，且不变号，且连续，则曲边梯形面积（曲线与直线和轴所围成） 二平面曲线的弧长（数学一和数学二） 1直角坐标系 设光滑曲线，也即有连续的导数 弧长 而也称为弧微分 2构坐标系 设光滑曲线，在上有连续导数 弧长 3参数方程所表曲线的弧长 设光滑曲线，在上有连续的导数 曲线的弧长三特殊的空间图形的体积（一般体积要用二重积分） 1已知平行截面面积的立体体积 设空间一个立体由一个曲面和垂直于轴两平面和所围成，轴每一点且垂直于轴的立体截面的面积为已知的连续函数，则立体体积 2绕坐标轴旋转的旋转体的体积 （1）平面图形由曲线与直线，和轴围成 绕轴旋转一周的体积 绕轴旋转一周的体积 （2）平面图