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文档简介

3 3条件分布对二维随机变量 X Y 而言 所谓随机变量X的条件分布 就是在给定Y取某个值的条件下X的分布 本节将给出条件分布的定义 第3章多维随机变量及其分布 3 3 1离散型随机变量的条件分布由条件概率公式自然引出下面定义 定义3 7设二维离散型随机变量 X Y 的分布律为对一切使的 称为给定条件下X的条件分布律 同理 对一切使的 称为给定条件下Y的条件分布律 3 3 1离散型随机变量的条件分布 例3 12 一名射手进行射击 击中目标的概率为 射击直至击中目标两次为止 设以X表示首次击中目标所进行的射击次数 以Y表示总共进行的射击次数 试求X和Y的联合分布律及条件分布律 解 按题意Y n就表示在第n次射击时击中目标 且在第1次 第2次 第n 1次射击中恰有一次击中目标 已知各次射击是相互独立的 于是不管是多少 概率其中q 1 p m 1 2 n 1 n 2 3 这就是 X Y 的分布律 3 3 1离散型随机变量的条件分布 又于是所求的条件分布律为当n 2 3 时 3 3 1离散型随机变量的条件分布 当m 1 2 时例如 3 3 1离散型随机变量的条件分布 3 3 2连续型随机变量的条件分布设 X Y 的概率密度为f x y X Y 关于Y的边缘概率密度为fY y 给定 对于任意固定的x 对于任意 考虑条件概率设 则有 在某些条件下 当 很小时 上式右端分子 分母分别近似于和 于是当 很小时 有与一维随机变量概率密度的定义比较 我们给出以下的定义 3 3 2连续型随机变量的条件分布 定义3 8设二维随机变量 X Y 的概率密度为f x y X Y 关于X 关于Y的边缘概率密度为分别为fX x 和fY y 若对于固定的y fY y 0 则称为在Y y的条件下的条件概率密度 记为若对于固定的x fX x 0 则称为在X x的条件下Y的条件概率密度 记为 3 3 2连续型随机变量的条件分布 解 例 r x r 边缘分布不是均匀分布 y r r 当 r y r时 y 这里y是常数 当Y y时 当 r x r时 这里x是常数 当X x时 x 例3 15 设数X在区间 0 1 上随机地取值 当观察到X x 0 x 1 时 数Y在区间 x 1 上随机地取值 求Y的概率密度 解 按题意X具有概率密度对于任意给定的值x 0 x 1 在X x的条件下 Y的条件概率密度为 3 3 2连续型随机
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