垂直于弦的直径.docx

垂直于弦的直径教学目标：1. 掌握垂径定理，并能应用它解决有关的计算和证明问题；使学生掌握垂径定理及其推论，并会用垂径定理及其推论解决有关证明、计算和作图问题。2. 激发学生探索和发现问题的欲望，培养学生观察、分析、归纳的能力。3. 向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法，并培养学生联系发展的辨证唯物主义观点。二. 重点、难点：垂径定理及其推论应用是重点也是难点教学过程设计：1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。2. 垂径定理推论如果垂径定理作为原命题，任意交换其中的一个题设和一个结论，即可得到一个原命题的逆命题，按照这样的方法，可以得到原命题的九个逆命题。，常用推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。常用辅助线：弦心距、半径例1. 如图，已知在O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求O的半径。解：作出OEAB，垂足为E，连接OA（或OB）由垂径定理，可知AE4由勾股定理可知AO5思考：如图，若圆心到弦的距离用d表示，半径用R表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系式?把垂径定理和勾股定理合并考虑，这样就把问题转化为解直角三角形的问题，于是得出：据此，在a、R、d三个量中，知道任何两个量就可求出第三个量。变式1：如上图，若以O为圆心再画一个圆交弦AB于C，D，则AC与BD间可能存在什么关系?最后通过比较择优，突出“过圆心作弦的垂线段”这条辅助线的重要性和应用垂径定理的优越性。变式2：如下图，若将AB向下平移，当移到过圆心时，结论ACBD还成立吗?变式4：如图，设AOBO，求证ACBD。变式5：如图，设OCOD，求证ACBD。得出解决这类题的关键在于利用垂径定理，由圆心O引弦AB的垂线。例2. 平分已知。已知：。（如图），求作：的中点。分析：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。因此，连结AB，作弦AB的垂直平分线，它一定平分。作法：1. 连接AB2. 作AB的垂直平分线交弧AB于E思考：四等分弦AB是否可四等分，为什么?如下图所示的方法是否正确？答：这种作法是错误的，虽然在等分时作法是对的，但是在等分和时是错误的，因为AT，BT不是和所对的弦。因此AT、BT的垂直平分线不能平分和。【典型例题】例1. P是O的弦AB上一点，AB10，AP6，OP5，则O的半径为？解：作OCAB，连OAAB10，OCABOC过圆心CB5AP6，CP1OP5，在RtOPC中在RtAOC中例2. O的直径AB16，P是OB的中点，APC30，求CD的长。解：作OECDAB16，OB8P是OB中点，OP4OED90，OPE30在RtCOE中，OECD，CD2CE例3. 在直径为40的圆形油槽中，装入一部分油，油面宽32，求油的深度为多少？解：连结OA，过点O作OCAB于点C延长OC交O于D在RtACO中，OD20CDDOOC8连接OA，过O作OCAB于点C，反向延长OC交O于点D同理可得OC12CDOC+OD12+2032油的深度为8或32。例4. AB为O的弦，从圆上任意一点引弦CDAB，作OCD的平分线交O于P，连结PA、PB，求证：证：连结OP，则OPOCOPCOCPCP是DCO的平分线DCPOCPOPCDCPOP/CD又CDAB，OPAB例5. 已知，AD为O的直径，两弦ABAC，求证：AD平分BAC解：过O作OEAB于E，作OFAC于F则ABAC，AEAFOAOARtAOERtAOFOAEOAF即AD平分BAC例6. O的弦AB、AC的夹角为70，M、N分别为AB、AC的中点，求MON的度数。解：M、N分别为弦AB、AC中点ONAC，OMABCAB70MON360909070110例7. 已知圆内的一条弦与直径相交成30角，且分直径成1cm和5cm两部分，则这条弦的中点与圆心的距离是多少？解：已知AB为O直径，弦CD交AB于P，且PA1cm，PB5cmDPB30M为CD中点，求OM的长。M为CD的中点，AB为O直径OMCDPA1cm，PB5cmOA3cm，OP2cm在RtPOM中，DPB30例8. 求证：过圆内一定点的弦中垂直直径的弦（直径除外）最短。解：已知AB为直径，CDAB，求证：EFCD过点P任作一条弦EF，连弦OE、OD，作OQEF于QABCD，AB过圆心在RtEOQ中，在RtPOD中，在RtPQO中，OPOQEFCD例9. P为O内一点，且OP2，如图O的半径为3，即过P的最短的弦等于_。解：由上例可知，过P作ABOP，则AB最短由勾股定理例10. 已知O的直径为10，P是O内一点，且OP3，则过点P且长度小于8的弦有几条？解：由前例可知过P点最短的弦长为8，则没有过P点且长度小于8的弦。【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 如图，已知：AB是O的弦，AB的垂直平分线交O于C、D，交AB于E，AB6，DE：CE1：3，求O的直径的长。2. 如图，已知：O中半径OA15cm，弦BCOA，BC24cm，求AC的长。3. 如图，已知ABC中，A90，以AB为半径作A交于BC于D，AB5，AC12，求CD的长。4. 如图，已知：O中，弦AB与弦CD互相垂直，垂足为E，又AE3，EB7，求O