1112高中数学 1.1 集合的含义与表示课件 新人教A版必修1.ppt

学点一 学点二 学点三 学点四 学点五 学点六 1 一般地 我们把研究对象统称为 把一些元素组成的总体叫做 简称为 元素 集 集合 2 集合通常用来表示 而集合中的元素通常来表示 如果a是集合a中的元素 就说 记作 如果a不是集合a中的元素 就说 记作 大写拉丁字母a b c 小写拉丁字母a b c a属于集合a a a 3 集合中元素具有的性质 确定性 互异性 无序性 4 常用的数集 1 非负整数的全体构成的集合叫 记作 2 在自然数集内排除零构成的集合叫 记作 3 整数的全体构成的集合叫 记作 4 有理数构成的集合叫 记作 5 实数的全体构成的集合叫 记作 a不属于集合a 自然数集 n 正整数集 n 或n 整数集 z 有理数集 q 实数集 r 5 列举法是 6 如果在集合i中 属于集合a的任意一个元素x都具有性质p x 而不属于集合a的元素都不具有性质p x 则性质p x 叫做集合a的 7 描述法的表示形式为 把集合中元素一一列举出来放在 内 这种表示集合的方法叫列举法 特征性质 x i p x 学点一集合的概念 下列各组对象能否组成集合 1 小于10的自然数 0 1 2 3 9 2 满足3x 2 x 3的全体实数 3 所有直角三角形 4 到两定点距离的和等于两定点间的距离的点 5 高一 1 班成绩好的同学 6 参与中国加入wto谈判的中方成员 7 小于零的自然数 8 小于等于零的正整数 分析 一组对象能否构成集合 关键在于其是否具有确定性 解析 由于研究对象具有确定性 故 1 2 3 4 5 6 构成集合 7 8 中的元素不存在因构成空集 而 5 中的对象无标准 因成绩是否好是不确定的 不能构成集合 评析 要构成集合 必须明确集合中的元素是确定的 模棱两可 似是而非的不确定元素不能构成集合 下列各组对象能否构成集合 1 所有漂亮的人 2 所有大于0的正整数 3 不大于3且不小于0的有理数 4 所有的正整数 5 某校2009年在校的所有成绩好的同学 解析 1 不能 漂亮 的标准不具有元素的确定性 故不能构成集合 2 能 所有大于0的正整数为1 2 3 故能构成集合 3 能 满足条件的集合为 x q 0 x 3 4 能 所有的正整数构成的集合为n 5 不能 成绩 好 的分类标准不明确 故不能构成集合 学点二元素与集合的关系 若m是由1和3两个数构成的集合 则下列表示方法正确的是 a 3 mb 1 mc 1 md 1 m且3 m 分析 如果a是集合a的元素 就说a属于集合a 记作a a 如果a不是集合a的元素 就说a不属于集合a 记作a a 解析 注意集合与元素的关系 正确的使用符号 与 易知1 m 3 m 故应选c 评析 集合与元素之间的关系只能是属于和不属于的关系 即对于集合a和某一个元素x 有一个明确的判断标准 即是x a 还是x a 两者必居其一 且仅居其一 c 给出下列命题 n中最小的元素是1 若a n 则 a n 若a n b n 则a b的最小值是2 其中所有正确命题的个数为 a 0个b 1个c 2个d 3个 a 对命题逐个分析判断 n是自然数集 最小的自然数为0 故错误 若a n 则 a n 错误 如a 0时 a 0 n 故错误 因为n中最小元素为0 故当a n b n时 a b的最小值为0 故错误 学点三集合中元素的性质 已知由1 x x2三个实数构成一个集合 求x应满足的条件 分析 1 x x2是集合中的三个元素 则它们是互不相等的 解析 根据集合中元素的互异性 得所以x r且x 1且x 0 评析 解决这类问题的主要依据是集合元素的性质特征 互异性 列出两两元素的关系式求解 通常要用到分类讨论 集合 3 x x2 2x 中 x应满足的条件是 解析 x 3且x 0且x 1根据构成集合的元素的互异性 x应满足解之得x 3且x 0且x 1 学点四集合的表示 分析 1 根据x的范围解方程 2 根据绝对值的意义化简 3 所求的x要满足两个条件 x是正整数 使是整数 用列举法表示下列集合 1 a x x x x z且x 8 2 b x x a b为非零实数 3 c x z x n 解析 1 x x x 0 又 x z且x 8 x x x x z且x 8 用列举法表示为 0 1 2 3 4 5 6 7 2 当a 0 b 0时 x 2 当a 0 b 0时 x 2 当a b异号时 x 0 b 2 0 2 3 由题意 知3 x 1 2 3 6 x 0 3 1 2 4 5 6 9 又 x n c 1 2 4 5 6 9 评析 掌握集合的两种表示形式的关系和转化 1 用适当的方法表示下列集合 方程组的解集 2 1000以内被3除余2的正整数所组成的集合 3 直角坐标平面上在第二象限内的点所组成的集合 4 所有的正方形 5 直角坐标平面上在直线x 1和x 1的两侧的点所组成的集合 1 由得方程组的解集为 4 2 2 1000以内被3除余2的正整数可以表示为x 3k 2 k n的形式 故所求的集合为 x x 3k 2 k n 且x0 用集合表示为 x y x0 4 所有的正方形构成的集合表示为 正方形 5 在直角坐标平面上 在直线x 1和x 1两侧的点 其横坐标x 1或x1或x 1 分析 元素在集合中时 用符号 而元素不在集合中时 用符号 学点五 数集的应用 用符号 或 填空 1n 1n 3n 0 5n n 1z 0z 3z 0 5z z 1q 0q 3q 0 5q q 1r 0r 3r 0 5r r 评析 数集的范围不明或数集的符号记忆错误是出错的主要原因 用符号 或 填空 1 0n 5z 1 0n 2 x x4 x x 2 3 3 x x n2 1 n n 5 x x n2 1 n n 4 1 1 y y x2 1 1 x y y x2 学点六集合的应用 已知集合a x ax2 2x 1 0 1 若a中只有一个元素 求a的取值范围 2 若a中至少有一个元素 求a的取值范围 3 若a中至多有一个元素 求a的取值范围 分析 理解 只有 至少 至多 的准确含义是解本题的关键 解析 1 a中只有一个元素 方程ax2 2x 1 0只有一解 若a 0 则 0 解得a 1 此时x 1 若a 0 则x 12 当a 0或a 1时 a中只有一个元素 2 当a中只有一个元素时 由 1 知a 0或a 1 当a中有两个元素时 需满足条件a 0 0 得a 1且a 0 综上 得a 1 3 a中至多有一个元素 方程ax2 2x 1 0至多有一解 4 4a 0a 0或a 0 a 1或a 0 当a 1或a 0时 a中至多有一个元素 评析 本题应用一元二次方程有关根的讨论 将集合语言转化为方程解的问题 本题难点在于如何将集合中元素个数转化为方程系数所需要的条件 已知数集a满足条件 若a a 则 a a 1 1 若2 a 试求出a中其他所有元素 2 自己设计一个数属于a 再求出a中其他所有元素 3 从 1 2 中你能发现什么规律 并论证你的发现 1 2 a 则 1 a 1 a 则 a a 则 2 a a中其他元素为 1 2 可根据自己所选的数去重复 1 中的过程 3 观察 1 2 不难发现 a是由 a 三个元素构成的集合 并且a 1 证明 设a a 则 a a 则 a a 则 a a a是由 a 三个元素构成的集合 并且a 1 即这三个元素的乘积恒为 1 1 解题时如何利用集合中元素的性质 集合中元素的确定性 互异性 无序性是集合中元素的三个重要性质 要充分理解和认识三个性质 掌握其规律 如在解有关集合相等时 集合中元素间存在相等关系 元素顺序是一个重要因素 利用元素的无序性 可解决此问题 另外在解决了表示集合元素的字母后 应代回集合中检验互异性 2 集合的列举法和描述法的转换如何进行 集合的表示形式主要有两种 列举法和描述法 当需要转换表示形式时 可这样实施 由描述法到列举法 只需把满足特征性质的所有元素一一写出来即可 而完成由列举法到描述法时 需由列出的元素找规律 常常用归纳 猜测 计算等方法 要注意元素的一些限制条件 1 集合和元素是两个不同的概念 符号 和 是表示元素和集合关系的 如 1 1 2 3 的写法是错误的 而 1 1 2 3 的写法就是正确的 2 解题时要特别关注集合元素的三个性质 特别是