1112高中数学 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选修22.ppt

1 3 2函数的极值与导数 1 掌握极值的概念 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 2 会用导数求一些函数的极大值和极小值 本节重点 函数极值的概念与求法 本节难点 函数极值的求法 1 曲线在极值点处切线的斜率为0 曲线在极大值点左侧切线的斜率为正 右侧为负 曲线在极小值点左侧切线的斜率为负 右侧为正 据此得到可导函数极值的概念 对此概念的几点说明如下 1 函数f x 在点x0及其附近有定义 是指在点x0及其左右邻域都有意义 2 极值是一个局部概念 是仅对某一点的左右两侧邻域而言的 3 极值总是函数f x 定义域的某个开区间内的点 因而端点绝不是函数的极值点 4 连续函数f x 在其定义域上的极值点可能不止一个 也可能没有 函数的极大值与极小值没有必然的大小关系 函数的一个极小值也不一定比极大值小 2 求可导函数极值的步骤 1 确定函数的定义域 2 求导数f x 3 求方程f x 0的全部实根 4 检查f x 在f x 0的根左 右两侧值的符号 如果左正右负 或左负右正 那么f x 在这个根处取得极大值 或极小值 3 极值点与导数为0的点的关系 1 导数为0的点不一定是极值点 如函数f x x3在x 0处的导数是0 但它不是极值点 对于可导函数 极值点的导数必为0 因此对于可导函数 导数为0是点为极值点的必要而不充分条件 2 函数的导数不存在的点也可能是极值点 如函数f x x 在x 0处 左侧 x 0时 f x 1 0 右侧 x 0时 f x 1 0 当x 0时f x 0是f x 的极小值点 但f 0 不存在 1 极值点与极值 1 极小值与极小值点 对可导函数 如图 若a为极小值点 f a 为极小值 则必须满足 f a f x0 f x0 表示f x 在x a附近的函数值 f a 在x a附近的左侧f x 0 函数单调递 在x a附近的右侧f x 0 函数单调递 0 减 增 2 极大值与极大值点 对可导函数 如图 若b为极大值点 f b 为极大值 则必须满足 f b f x0 f x0 表示f x 在x b附近的函数值 f b 在x b附近的左侧 f x 0 函数单调增 在x b附近的右侧 f x 0 函数单调 极小值点 极大值点统称为极值点 极大值和极小值统称为极值 极值反映了函数在某一点附近的大小情况 刻画的是函数的局部性质 0 减 2 求可导函数y f x 的极值的方法是 解方程f x 0 当f x0 0时 1 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极大值 2 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极小值 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 例1 判断函数y x3在x 0处能否取得极值 分析 可由极值的定义来判断 也可由导数来判断 解析 解法1 当x 0时 f x 0 在x 0的附近区域内 f x 有正有负 不存在f 0 f x 或f 0 0 当y 0时 f x 0 因此y x3在 上是增函数 因为单调函数没有极值 所以y x3在x 0处取不到极值 点评 1 f x0 0是函数y f x 在x x0处有极值的必要条件而不是充分条件 如果再加上x0附近导数的符号相反 才能判定在x x0处取得极值 2 在区间上的单调函数是没有极值的 像这样的重点结论可记熟 判断函数y ax b a 0 在其定义域内是否存在极值 例2 求下列函数的极值 1 y x2 7x 6 2 y x3 27x 分析 求函数极值需求f x 0的解及f x f x 的变化情况 当x 3时 y有极大值 且y极大值 54 当x 3时 y有极小值 且y极小值 54 点评 1 判断可导函数极值的基本方法 设函数y f x 在点x0及其附近可导 且f x0 0 1 如果f x 的符号在点x0的左右由正变负 则f x0 为函数f x 的极大值 2 如果f x 的符号在点x0的左右由负变正 则f x0 为函数f x 的极小值 3 如果f x 的符号在点x0的左右不变号 则f x0 不为函数f x 的极值 2 求可导函数极值的基本步骤 1 确定函数的定义域 2 求导数f x 3 求方程f x 0的全部实根 4 检查f x 在方程f x 0的根左 右两侧值的符号 如果左正右负 或左负右正 那么f x 在这个根处取得极大值 或极小值 总之 求可导函数的极值的核心是 解方程f x 0 列表 模拟图象 确定极大值或极小值 求y 4x3 x2 2x的极值点和相应的极值 解析 y 12x2 2x 2 2 6x2 x 1 2 3x 1 2x 1 例3 已知f x ax5 bx3 c在x 1处的极大值为4 极小值为0 试确定a b c的值 分析 本题的关键是理解 f x 在x 1处的极大值为4 极小值为0 的含义 即x 1是方程f x 0的两个根且在根x 1处f x 取值左右异号 解析 f x 5ax4 3bx2 x2 5ax2 3b 由题意 f x 0应有根x 1 故5a 3b 于是f x 5ax2 x2 1 1 当a 0时 点评 紧扣导数与极值的关系对题目语言进行恰当合理的翻译 转化是解决这类问题的关键 函数f x x3 ax2 bx a2 在x 1时有极值10 则a b的值为 a a 3 b 3 或a 4 b 11b a 4 b 1 或a 4 b 11c a 1 b 5d 以上都不正确 答案 d 解析 f x 3x2 2ax b x 1是函数f x 的极值点 且在x 1处的极值为10 f 1 3 2a b 0 f 1 1 a b a2 10 当a 3 b 3时f x 3x2 6x 3 3 x 1 2当x 1时 f x 0当x 1时 f x 0 当x 1时函数不存在极值 当a 4 b 11时符合题意 故应选d 例4 求函数f x x3 3x2 2在 a 1 a 1 内的极值 a 0 解析 由f x x3 3x2 2得f x 3x x 2 令f x 0得x 0或x 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由此可得 当0 a 1时 f x 在 a 1 a 1 内有极大值f 0 2 无极小值 当a 1时 f x 在 a 1 a 1 内无极值 当1 a 3时 f x 在 a 1 a 1 内有极小值f 2 6 无极大值 当a 3时 f x 在 a 1 a 1 内无极值 综上得 当0 a 1时 f x 有极大值 2 无极小值 当1 a 3时 f x 有极小值 6 无极大值 当a 1或a 3时 f x 无极值 点评 判断函数极值点的注意事项 1 函数的极值点一定出现在区间的内部 区间的端点不能成为极值点 2 若f x 在 a b 内有极值 那么f x 在 a b 内绝不是单调函数 即在区间 a b 上的单调函数没有极值 3 导数不存在的点也有可能是极值点 如f x x 在x 0处不可导 但由图象结合极小值定义知f x x 在x 0处取极小值 4 在函数的定义区间内可能有多个极大值点或极小值点 且极大值不一定比极小值大 5 在讨论可导函数f x 在定义域内的极值时 若方程f x 0的实数根较多时 应注意使用表格 使极值点的确定一目了然 6 极值情况较复杂时 注意分类讨论 1 当cos 0时 判断函数f x 是否有极值 2 要使函数f x 的极小值大于零 求参数 的取值范围 3 若对 2 中所求的取值范围内的任意参数 函数f x 在区间 2a 1 a 内都是增函数 求实数a的取值范围 分析 f x 是否有极值 需研究是否存在x0点 使f x0 0且在x0左 右f x 的符号相反 求参变量范围注意其他条件 当x变化时 f x 的符号及f x 的变化情况如下表 点评 本例主要考查了运用导数研究函数的单调性与极值 解不等式等基本知识 要注意分析题目 培养综合分析和解决问题的能力 2009 陕西文 20 已知函数f x x3 3ax 1 a 0 1 求f x 的单调区间 2 若f x 在x 1处取得极大值 直线y m与y f x 的图象有三个不同的交点 求m的取值范围 分析 本小题主要考查函数 导数的应用等基础知识 考查分类整合思想 推理和运算能力 解析 1 f x 3x2 3a 3 x2 a 当a0 当a 0时 f x 的单调增区间为 f x x3 3x 1 f x 3x2 3 由f x 0解得x1 1 x2 1 由 1 中f x 的单调性可知 f x 在x 1处取得极大值f 1 1 在x 1处取得极小值f 1 3 直线y m与函数y f x 的图象有三个不同的交点 又f 3 191 结合f x 的单调性可知 m的取值范围是 3 1 一 选择题1 若函数y f x 是定义在r上的可导函数 则f x0 0是x0为函数y f x 的极值点的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 答案 b 解析 如y x3 y 3x2 y x 0 0 但x 0不是函数y x3的极值点 2 函数y x3 1的极大值是 a 1b 0c 2d 不存在 答案 d 解析 y 3x2 0在r上恒成立 函数y x3 1在r上是单调增函数 函数y x3 1无极值 3 三次函数当x 1时 有极大值4 当x 3时 有极小值0 且函数过原点 则此函数是 a y x3 6x2 9xb y x3 6x2 9xc y x3 6x2 9xd y x3 6x2 9x 答案 b 解析 适合题意的函数满足f 1 4 排除a c d 二 填空题4 若函数f x x3 ax在r上有两个极值点 则实数a的取值范围是 答案 a 0 解析 f x 3x2 a由题设条件知f x 0应有两个不同实数根 a 0 5 若x 2是函数f x x x m 2的极大值点 则函数f x 的极大值为 答案 32 解析 f x x m 2 2x x m 3x2 4mx m2 x m 3x m 三 解答题6 求下列函数的极值 1