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Ch7、空间解析几何与向量代数1、空间直角坐标系1、空间点的坐标坐标系 点的坐标2、空间两点间距离空间两点的距离2、向量及其加、减与数乘运算1、向量既有大小又有方向的量称为向量 模向量的大小 单位向量模为1的向量 零向量模为零的向量（方向任意） 向量的相等模相等、方向相同的向量 向量的平行方向相同或相反的向量2、向量的加减法 加减法的平行四边形法则与三角形法则 加减法的运算法则3、向量与数的乘法 设为向量，为实数，则也是一个向量，其模，当的方向与相同（反）。 数乘的运算法则 定理：设向量，则向量平行于的充要条件是存在唯一的，使。 若，则为与平行的单位向量。3、向量的坐标1、向量在轴上的投影 如图，称为向量的夹角，记为，其中。 向量在轴上的投影称为点在轴上的投影 称有向线段的值为向量在上 的投影，记为（投影）定理：2、向量在坐标轴上的分量与向量的坐标如图， 其中分别为轴正向上的单位向量。称为在上的分量，称为在上的投影，也称为向量的坐标。也可记为。若，则，3、向量的模与方向余弦如图，正向的夹角称为的方向角，显然， 方向余弦与平行的单位向量例1、已知空间两点，求的模、方向余弦，并求与平行的单位向量。解：，与平行的单位向量为4、向量的数量积与向量积一、数量积（点乘）1、定义：若向量的夹角为，则称为与的数量积，记为，即= 。证：若证：=2、运算法则 交换律 分配律 结合律 3、数量积的坐标表示 设，则证：注意到故例1、设。解：,例2、设，问关系如何，才能使与轴垂直。解：与轴垂直，即，而，故，即时，与轴垂直。二、向量积（叉乘）1、定义：对向量，若向量满足的模，之间夹角；的方向垂直于所决定的平面，且的指向满足右手法则；则称为的向量积，记为，即。证：，故若证：2、运算法则反交换律 分配律 结合律 3、向量积的坐标表示设，则记为证：注意到故注：，即对应坐标成比例。如某分母为零，则认为该分子也为零。例3、设，求与皆垂直的单位向量。解：故所求为例4、，是否与平行。解： ，故与平行。例5、已知空间三点的面积。解：，故5、曲面与二次曲面1、曲面方程 （不超过三个变量的方程）称为曲面方程，若为二次，则称之不二次曲面方程。例如，表示二次曲面中的球面。2、旋转曲面（中至少两个系数相同） 一平面直线绕其平面上的一条直线旋转一周而成的曲面称为旋转曲面。 面上的曲线绕而成的旋转曲面方程为， 面上的曲线绕而成的旋转曲面方程为。例1、圆锥面。解：在面内，的方程为，绕轴旋转而成的旋转曲面方程为，记为 圆锥面例2、旋转抛物面。解：在面内，的方程为，绕轴旋转而成的旋转曲面方程为旋转抛物面3、柱面（缺项）引例：方程在二维平面和三维空间内各表示什么几何图形？解： 平行于定直线并沿定曲线移动的直线的轨迹称为柱面，定曲线称为准线，动直线称为母线。 分别表示母线平行于轴的柱面。例3、抛物柱面例4、双曲柱面6、空间曲线及其方程1、空间曲线的一般方程将曲线看成两曲面的交线方程组称为空间曲线的一般方程，如2、空间曲线的参数方程将曲线看成动点的轨迹方程组称为空间曲线的参数方程，如3、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线的方程为，消去得以曲线为准线且母线平行于轴的柱面称为曲线关于面的投影柱面。投影柱面与面的交线称为曲线在面上的投影（曲线），显然，投影曲线方程为例1、求两球面，的交线在面上的投影。解：交线方程为消去得 椭圆柱面故投影方程为 椭圆例2、求由球面和锥面所围成的立体在面上的投影。解：交线的方程为消去得 圆柱面故交线在面上的投影（曲线）方程为 圆从而该立体在面上的投影为 圆域7、平面及其方程一、平面的点法式方程1、若非零向量垂直于平面，则称为的法向量。2、若平面过点，其法向量，则的方程为 证：设为内任一点，因为 是的法向量，故又故 平面的点法式方程例1、求过点且平行于平面的平面方程。解：平面的法向量为，因所求平面与上平面平行，即其法向量也可取为，故所求平面方程为例2、求过三点的平面方程。解：由法向量及向量的向量积定义知，平面的法向量可选为，故平面方程为二、平面的一般方程1、三元一次方程称为平面的一般方程。2、一些特殊平面 过原点 平行于轴 平行于轴 平行于轴 平行于面或垂直于轴 平行于面或垂直于轴 平行于面或垂直于轴例3、若平面与轴分别交于三点，则的方程为。证：设平面方程为则代入得 截距式，称为平面在轴上的截距。或：，故平面方程为，即。例4、求过轴与点的平面方程。解：平面过轴，故可设其方程为又平面过，有，得平面方程为例5、平面在轴上的截距为，且与平行，求平面方程。解：设平面方程为，依题意其法向量垂直，即故平面方程为三、两平面的夹角1、两平面法向量的夹角称为两平面的夹角。2、设有两平面，则两者夹角的余弦证：与的夹角即为 从而3、几个重要结论 平面与互相垂直 平面与互相平行 平面与互相重合例6、一平面过且垂直于平面，求此平面。解：显然所求平面的法向量既垂直于又垂直于平面的法向量，故可取 平面方程为。例7、一平面过原点，且与垂直，求此平面。解：依题意，可设平面方程为，显然，其法向量垂直，故可取，平面方程为四、点到平面的距离空间中任一点到平面的距离证：又，得因在上，即故8、空间直线及其方程一、空间直线的一般方程将直线看成两个平面的交线1、方程组称为直线的一般方程。2、若直线的方程为(*)，则方程 表示过直线除平面(2)以外的任何平面。 方程(3)称为过直线的平面束方程。例1、求过点与直线的平面方程。解：设平面方程为，即代入点，得故平面方程为二、空间直线的对称式方程与参数方程1、若非零向量平行于直线，则称为直线的方向向量。2、过点且方向向量的直线的方程为 证：设为上任一点，则平行，又，故直线方程为 对称式（点向式）3、对称式方程参数方程例2、化直线的方程为对称式、参数式。解：首先找出上的一点，不妨令，则，点为然后再确定的方向向量，显然可取故的对称式方程为，参数方程为例3、求过两点的直线方程。解：设为上任一点，则与平行，即直线方程为例4、设是直线外一点，是上一点，且的方向向量为，试证：点到直线的距离证：，故例5、求点在平面上的投影。解：设过点且垂直于的直线为，则的方向向量可取为 的方程为 代入，得与的交点为，故点在平面上的投影为例6、求直线在平面上的投影直线方程。解：过直线的平面束方程为，即，要此平面与垂直，即，平面方程为，故投影直线方程为三、两直线的夹角1、两直线方向向量的夹角称为