高三数学总复习导与练 第五篇第一节配套课件（教师用） 理.ppt

第1节平面向量的概念及线性运算 对应学生用书第59 60页 1 向量的有关概念 1 向量 既有大小又有方向的量叫做向量 向量的大小叫做向量的长度 或称模 2 零向量 长度为0的向量叫做零向量 其方向是任意的 3 单位向量 长度等于1个单位的向量 4 平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 平行向量又叫做共线向量 任一组平行向量都可以移动到同一直线上 规定 0与任一向量平行 5 相等向量 长度相等且方向相同的向量 6 相反向量 与a长度相等 方向相反的向量 叫做a的相反向量 2 向量的加法运算及其几何意义 1 三角形法则 已知非零向量a b 在平面内任取一点a 作ab a bc b 则向量ac 叫做a与b的和 记作a b 即a b ab bc ac 这种求向量和的方法 称为向量加法的三角形法则 2 平行四边形法则 以同一点o为起点的两个已知向量a b为邻边作 oacb 则以o为起点的对角线oc 就是a与b的和 这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则 3 向量加法的几何意义 从法则可以看出 如图所示 3 向量的减法运算及其几何意义 1 定义 a b a b 即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 2 如图 ab a ad b 则db a b 两个向量的和与差仍是向量 向量的减法是向量加法的逆运算 两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法则求得 由向量加 减法的几何意义可得向量不等式 a b a b a b 用这个不等式可以解决模的最值问题 三角形中线公式 若a为 obc中bc边的中点 如图所示 质疑探究1 你能给出 a b 2 a b 2 2 a 2 b 2 a b不共线 的几何解释吗 提示 几何意义是 平行四边形两条对角线的平方和等于它的四条边的平方和 4 向量数乘运算及其几何意义 1 定义 实数 与向量a的积是一个向量 记作 a 它的长度与方向规定如下 a a 当 0时 a的方向与a的方向相同 当 0时 a的方向与a的方向相反 当 0时 a 0 2 运算律设 是两个实数 则 a a a a a a b a b 3 两个向量共线定理 向量a a 0 与b共线的充要条件是存在唯一一个实数 使b a 1 a的几何意义就是把a沿着与a相同 0 或相反 1 或缩短 1 到原来的 倍 2 当两个向量a b不共线时 k1a k2b 0的充要条件是k1 k2 0 1 给出下列命题 向量ab 的长度与向量ba 的长度相等 两个非零向量a与b平行 则a与b的方向相同或相反 两个有共同起点而且相等的向量 其终点必相同 两个有公共终点的向量一定是共线向量 其中不正确命题的个数为 a a 1 b 2 c 3 d 4 解析 对于 在 abc中 ba 与ca 有公共终点a 但不是共线向量 故 错 正确 故选a 2 2009年高考山东卷 设p是 abc所在平面内的一点 bc ba 2bp 则 b a pa pb 0 b pc pa 0 c pb pc 0 d pa pb pc 0 解析 因为bc ba 2bp 所以点p为线段ac的中点 如图 pc pa 0 故选b 3 已知非零向量a b不共线 且ab a 2b bc 5a 6b cd 7a 2b 则一定共线的三点是 a a a b d b a b c c b c d d a c d 解析 bc cd 2a 4b 2ab bd ab 与bd 共线 又有公共点b a b d三点共线 故选a 4 已知 abc中 ab a ac b 点d在bc上 且bd 3dc 若用a b表示ad 则ad 对应学生用书第60 61页 向量的有关概念 例1 给出下列各命题 零向量没有方向 若 a b 则a b 单位向量都相等 向量就是有向线段 若a b b c 则a c 若四边形abcd是平行四边形 则ab dc bc da 其中真命题是 思路点拨 正确理解向量的有关概念是解决本题的关键 注意到特殊情况 否定某个命题只要举出一个反例即可 解析 该命题不正确 零向量不是没有方向 而是方向任意 该命题不正确 a b 只是说明这两个向量的模相等 但其方向未必相同 该命题不正确 单位向量只是模均为单位长度1 而对方向没有要求 该命题不正确 有向线段只是向量的一种表示形式 不能把两者等同起来 该命题正确 由向量相等的定义知 a与b的模相等 b与c的模相等 从而a与c的模相等 又a与b的方向相同 b与c的方向相同 从而a与c的方向也必相同 故a c 该命题不正确 如图所示 显然有ab dc 但bc da 综上可知 真命题只有 答案 大小与方向是向量的两个要素 两非零向量a b相等的充要条件应是a b的方向相同且模相等 向量相等是可传递的 两个向量不能比较大小 但两个向量的模可以比较大小 思路点拨 画出图形 根据向量的加法 减法 数乘的运算法则建立未知向量cd 与已知向量a b的关系 在向量化简或求向量时要尽可能将涉及的向量转化到平行四边形或三角形中 运用平行四边形法则或三角形法则求解 有时还应充分利用平面几何的一些性质定理 如三角形中的中位线定理 相似三角形对应边成比例等平面几何的知识 向量共线与三点共线问题 例3 设两个非零向量a与b不共线 1 若ab a b bc 2a 8b cd 3 a b 求证 a b d三点共线 2 试确定实数k 使ka b和a kb共线 思路点拨 解决点共线或向量共线问题 要结合向量共线定理进行 1 证明 ab a b bc 2a 8b cd 3 a b bd bc cd 2a 8b 3 a b 2a 8b 3a 3b 5 a b 5ab ab bd 共线 又 它们有公共点b a b d三点共线 2 解 ka b与a kb共线 存在实数 使ka b a kb 即ka b a kb k a k 1 b a b是不共线的两个非零向量 k k 1 0 k2 1 0 k 1 1 证明三点共线问题 可用向量共线解决 但应注意向量共线与三点共线的区别与联系 当两向量共线且有公共点时 才能得出三点共线 2 向量a b共线是指存在不全为零的实数 1 2使 1a 2b 0成立 若 1a 2b 0当且仅当 1 2 0时成立 则向量a b不共线 变式探究31 已知向量a b不共线 c ka b k r d a b 如果c d 那么 a k 1且c与d同向 b k 1且c与d反向 c k 1且c与d同向 d k 1且c与d反向 解析 c ka b d a b 而c d 综合四个选项 当k 1时 可知c不平行于d 当k 1时 c与d反向 故选d 例1 2010年高考四川卷 设点m是线段bc的中点 点a在直线bc外 bc 2 16 ab ac ab ac 则 am 等于 a 8 b 4 c 2 d 1 例2 2010年安徽师大附中二模 设o在 abc的内部 且oa ob 2oc 0 则 abc的面积与 aoc的面积之比为 a 3 b 4 c 5 d 6 错源一 零向量 惹的祸 例1 下列命题正确的是 a 向量a b共线的充要条件是有且仅有一个实数 使b a b 在 abc中 ab bc ca 0 c 不等式 a b a b a b 中两个等号不可能同时成立 d 向量a b不共线 则向量a b与向量a b必不共线 错解一 a b共线 必然是有且只有一个实数 使b a 故选a 错解二 首尾相连 始终如一 在 abc中 ab bc ca 围成了一个封闭图形 故ab bc ca 0 故选b 错解三 当a与b同向时 式子中第一个等号不成立 当a与b反向时 式子中第二个等号不成立 当两个向量不共线时 两个等号都不成立 故两个等号不可能同时成立 故选c 错源二 向量有关概念理解不当 例2 如图 由一个正方体的12条棱构成的向量组成了一个集合m 则集合m的元素个数为 错解 正方体共有12条棱 每条棱可以表示两个向量 一共有24个向量 答案是24 错解分析 方向相同长度相等的向量是相等向量 故aa1 bb1 cc1 dd1 ab dc d1c1 a1b1 ad bc b1c1 a1d1 错解的原因是把相等的向量都当成不同的向量了 正解 12条棱可以分为三组 共可组成6个不同的向量 答案是6 答案 6 对应学生用书第263页 选题明细表 一 选择题1 有下列命题 若向量a与b同向 且 a b 则a b 若向量 a b 则a与b的长度相等且方向相同或相反 对于两个任意向量a b 有 a b 且a与b的方向相同 则a b 由于零向量方向不确定 故0不能与任意向量平行 起点不同 但方向相同且模相等的几个向量是相等向量 其中假命题的个数是 c a 1 b 2 c 3 d 4 解析 不正确 因为向量是不同于数量的一种量 它由两个因素来确定 即大小与方向 所以两个向量不能比较大小 不正确 由 a b 只能判断两向量长度相等 不能判断方向 正确 因为 a b 且a与b同向 由两向量相等的充要条件可得a b 不正确 由零向量性质可知0与任一向量平行 正确 对于一个向量 只要不改变其大小与方向 是可以任意移动的 所以假命题是 故选c 2 2009年高考湖南卷 如图 d e f分别是 abc的边ab bc ca的中点 则 a a ad be cf 0 b bd cf df 0 c ad ce cf 0 d bd be fc 0 解析 法一 ad db ad be db be de fc ad be cf 0 故选a 法二 ad be cf ad df cf af cf 0 解析 a b共线时 a b方向相同或相反 故a错 a b共线时 a b不一定是零向量 故b错 当b a时 a b一定共线 若b 0 a 0 则b a不成立 故c错 排除a b c 故选d 解析 oc ob bc ob 2ac ob 2 oc oa oc 2oa ob 故选a 6 已知a b是不共线的向量 ab a b ac a b r 那么a b c三点共线的充要条件为 d a 2 b 1 c 1 d 1 二 填空题7 2010年南京市模拟 设a b是两个不共线向量 若ab 2a kb cb a b cd 2a b 且a b d三点共线