高三数学总复习导与练 第八篇第六节配套课件（教师用） 理.ppt

第6节空间直角坐标系 对应学生用书第107页 2 了解空间两点间的距离公式 对应学生用书第107页 1 空间直角坐标系及有关概念 1 空间直角坐标系 以空间一点o为原点 建立三条两两垂直的数轴 x轴 y轴 z轴 这时我们说建立了一个空间直角坐标系oxyz 其中点o叫做坐标原点 x轴 y轴 z轴统称坐标轴 由每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面 质疑探究1 空间直角坐标系中的坐标平面把空间分成几部分 提示 八部分 2 右手直角坐标系的含义 当右手拇指指向x轴的正方向 食指指向y轴的正方向时 中指指向z轴的正方向 3 空间一点m的坐标 空间一点m的坐标用有序实数组 x y z 来表示 记作m x y z 其中x叫做点m的横坐标 y叫做点m的纵坐标 z叫做点m的竖坐标 1 在空间直角坐标系中 任意一点p与有序实数组 x y z 可建立一一对应的关系 2 在空间直角坐标系中 在x轴上的点可记作 x 0 0 在y轴上的点可记作 0 y 0 在z轴上的点可记作 0 0 z 3 在空间直角坐标系中 位于xoy平面上的点的竖坐标为0 所以可记作 x y 0 同理 位于xoz平面 yoz平面上的点的坐标分别可记作 x 0 z 0 y z 质疑探究2 在空间直角坐标系中 点m x y z 的坐标满足x2 y2 z2 1 则点m的轨迹是什么 提示 以原点为球心 以1为半径的球面 1 已知点a 1 2 3 则a关于平面xoy对称点的坐标为 b a 1 2 3 b 1 2 3 c 1 2 3 d 1 2 3 解析 在空间直角坐标系中 点a 1 2 3 关于xoy平面的对称点的横 纵坐标不变 竖坐标变为原来的相反数 所以对称点坐标应为 1 2 3 故选b 2 已知点a 3 0 4 点a关于原点的对称点为b 则 ab 等于 d a 12 b 9 c 25 d 10 3 在空间直角坐标系中 所有点p x y 2 x y r 的集合表示 b a 一条直线 b 平行于平面xoy的平面 c 平行于平面xoz的平面 d 两条直线 解析 竖坐标为2的所有点的集合为平行于坐标平面xoy且与坐标平面xoy距离为2的一个平面 故选b 4 设正方体abcda1b1c1d1的棱长为1 以a为原点 分别以ab ad aa1为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 则正方形a1b1c1d1的中心的坐标为 求空间点的坐标 例1 如图所示 在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中 m在线段bc1上 且 bm 2 mc1 n是线段d1m的中点 建立适当的坐标系 求m n的坐标 思路点拨 可利用正方体中共点的三条两两垂直的棱所在的直线为x y z轴建立空间直角坐标系 找到点在坐标平面内的射影 求得m的坐标 再由中点坐标公式求出n点的坐标 求空间中点p坐标的方法法一 1 过点p作一个平面平行于坐标平面yoz 这个平面与x轴的交点记为px 它在x轴上的坐标为x 这个数x叫做点p的横坐标 2 过点p作一个平面平行于坐标平面xoz 这个平面与y轴的交点记为py 它在y轴上的坐标为y 这个数y叫做点p的纵坐标 3 过点p作一个平面平行于坐标平面xoy 这个平面与z轴的交点记为pz 它在z轴上的坐标为z 这个数z叫做点p的竖坐标 显然x轴上点的坐标形如 x 0 0 xoy平面上点的坐标形如 x y 0 法二 从点p向三个坐标平面作垂线 所得点p到三个平面的距离等于点p的对应坐标的绝对值 进而可求点p的坐标 空间中有关点的对称问题 例2 已知长方体abcda1b1c1d1的对称中心在坐标原点o 交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面 顶点a 2 3 1 求其他七个顶点的坐标 思路点拨 由题意可知 长方体的各顶点关于原点o和三个坐标平面及三条坐标轴具有对称性 据此可写出其他七个顶点的坐标解 由于已经建立了空间直角坐标系 如图所示 由于o为长方体的对称中心 且a 2 3 1 所以a与b关于xoz平面对称 b 2 3 1 又b c两点关于yoz平面对称 c 2 3 1 同理可得d 2 3 1 a1 2 3 1 b1 2 3 1 c1 2 3 1 d1 2 3 1 在空间直角坐标系中 利用点的对称性可快速求出对称点的坐标 常见规律如下 已知点p x y z 则点p 关于原点的对称点是 x y z 关于x轴的对称点是 x y z 关于y轴的对称点是 x y z 关于z轴的对称点是 x y z 关于xoy平面的对称点是 x y z 关于yoz平面的对称点是 x y z 关于xoz平面的对称点是 x y z 口诀 关于谁对称 谁不变 空间两点间距离公式的应用 例3 如图所示 以棱长为a的正方体的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系 点p在正方体的对角线ab上 点q在棱cd上 1 当点p为对角线ab的中点 点q在棱cd上运动时 探究 pq 的最小值 2 当点p在对角线ab上运动 点q在棱cd上运动时 探究 pq 的最小值 1 求空间中点的坐标时 一定要分清对应坐标 防止点的坐标求错 2 利用空间两点间的距离公式 可以求两点间的距离或某线段的长 只要建立恰当的坐标系 通过简单的坐标运算即可解决 例1 已知一个正四棱柱abcda1b1c1d1的顶点的坐标分别是a 0 0 0 b 2 0 0 d 0 2 0 a1 0 0 5 则c1的坐标是 解析 如图所示 由题意知 c 2 2 0 c1 2 2 5 答案 2 2 5 例2 已知点a 1 2 1 b 2 2 2 点p在z轴上 且 pa pb 则点p的坐标为 错源 忽略解的讨论 例题 已知点p在z轴上 且满足 op 1 o为坐标原点 则点p到点a 1 1 1 的距离为 选题明细表 解析 由题意知 q点的横 纵坐标与p点相同 而q点的竖坐标为0 所以q 1 0 故选d 3 正方体不在同一表面上的两顶点为a 1 2 1 b 3 2 3 则正方体体积为 c a 8 b 27 c 64 d 128 4 已知点b是点a 3 7 4 在xoz平面上的射影 则ob 2等于 b a 9 0 16 b 25 c 5 d 13 解析 a在xoz平面上射影为b 3 0 4 则ob 3 0 4 ob 2 25 5 2010年福建福州模拟 若两点的坐标是a 3cos 3sin 1 b 2cos 2sin 1 则 ab 的取值范围是 b a 0 5 b 1 5 c 0 5 d 1 25 二 填空题6 如图 已知在长方体abcda1b1c1d1中 ab aa1 2 bc 3 m为ac1与ca1的交点 则m点的坐标为 7 已知点a 3 4 5 则点a到x轴的距离为 三 解答题8 在空间直角坐标系中 已知a 3 0 1 和b 1 0 3 试问 1 在y轴上是否存在点m 满足 ma mb 2 在y轴上是否存在点m 使 mab为等边三角形 若存在 请求出点m的坐标 9 一