高中数学 2章整合 精品课件同步导学 新人教A版必修5.ppt

1 数列的概念和简单表示法 1 了解数列的概念和几种简单的表示法 列表 图象 通项公式 2 了解数列是自变量为正整数的一类函数 2 等差数列 等比数列 1 理解等差数列 等比数列的概念 2 掌握等差 等比数列的通项公式与前n项和公式 3 能在具体情境中识别数列的等差关系或等比关系 并能用相关知识解决相应的问题 4 了解等差数列与一次函数 等比数列与指数函数的关系 数列是高考的必考内容 一般情况有以下两种形式 1 以选择 填空题考查等差 等比数列基本量的计算 等差等比数列前n项和的相关计算 等差 等比数列及其前n项和的性质 2 以解答题的形式考查数列与函数 向量 不等式的综合题同时考查数列求通项和求和的方法 数列的通项公式是数列的核心之一 它如同函数中解析式一样 有解析式便可研究其性质 而有了数列的通项公式 便可求出任何一项及前n项的和 现将求数列通项公式的几种常见类型及方法总结如下 1 观察归纳法观察归纳法就是观察数列特征 找出各项共同的构成规律 横向看各项之间的关系 纵向看各项与项数n的内在联系 从而归纳出数列的通项公式 2 公式法等差数列与等比数列是两种常见且重要的数列 所谓公式法就是分析后项与前项的差或比是否符合等差数列或等比数列的定义 然后用等差 等比数列的通项公式表示它 已知数列 an 为无穷数列 若an 1 an 1 2an n 2且n n 且a2 4 a6 8 求通项an 1 已知数列 an 中 a1 1 且an 1 an 3n n 求数列 an 的通项公式 2 已知数列 an 满足an 1 2nan 且a1 1 求an 解析 1 由于本例给出了数列 an 中连续两项的差 故可考虑用累加法求解 由an 1 an 3n n 得an an 1 3n 1 n 1 an 1 an 2 3n 2 n 2 a3 a2 32 2 a2 a1 3 1 当n 2时 以上n 1个等式两端分别相加 得 an an 1 an 1 an 2 a2 a1 5 构造法形如 已知a1 an 1 pan q p q为常数 形式均可用构造等比数列法 即an 1 x p an x an x 为等比数列 或an 2 an 1 p an 1 an an 1 an 为等比数列 求数列的和是数列运算的重要内容之一 数列求和可分为特殊数列求和与一般数列求和 特殊数列就是指等差或等比数列 非等差或非等比数列称为一般数列 对于特殊数列的求和 要恰当的选择 准确的应用求和公式 采用公式法直接求和 对于一般的数列求和 可采用分组化归法 并项转化法 倒序相加法 错位相减法 裂项相消法 分段求和法等 1 公式法如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成 并且各独立项也可组成等差或等比数列 则该数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解 2 分组化归法将数列的每一项拆成多项 然后重新分组 将一般数列求和问题转化为特殊数列求和问题 我们将这种方法称为分组化归法 运用这种方法的关键是将通项变形 3 并项转化法在数列求和过程中 如果将某些项分组合并后转化为特殊数列再求和的这种方法称为并项转化法 利用该法时要注意有时要对所分项数是奇数还是偶数进行讨论 求和 sn 12 22 32 42 52 62 992 1002 4 倒序相加法如果一个数列 an 与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和 可采用把正着写与倒着写的两个和式相加 就得到一个常数列的和 这一求和方法称为倒序求和法 5 错位相减法若数列 an 为等差数列 数列 bn 是等比数列 由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为 anbn 当求该数列的前n项的和时 常常采用将 anbn 的各项乘以公比q 并项后错位一项与 anbn 的同次项对应相减 即可转化为特殊数列的求和 所以这种数列求和的方法称为错位相减法 6 裂项相消法裂项相消法求和就是将数列的每一项拆成两项或多项 使数列中的项出现有规律的抵消项 进而达到求和的目的 常用裂项技巧有 数学思想是人们对数学现象与规律的本质认识 是对数学知识与方法的提炼与概括 数学思想是数学方法的灵魂 数学方法是数学思想的表现形式 是其得以实现的手段 通常称为数学思想方法 1 函数与方程的思想在数列中 数列本身就是一种函数 这种函数的自变量取n 即定义域是n 从而表现在图象上就是离散的点 数列具有单调性 例如等差数列 除去公差为0的情况 等比数列 如a1 0 q 1 因此研究数列问题 可以类比函数的一些性质来研究 用运动变化的观点研究 例如数列中求某项的范围问题 某个字母的范围问题就可以利用函数的思想 转化成求函数的值域问题 或解不等式 在等差 等比数列中 已知五个基本量中的几个来求另几个时 往往是设基本量 建立方程或方程组来解决问题 已知函数f x x 1 2 g x 4 x 1 数列 an 满足a1 2 an 1 an g an f an 0 1 用an表示an 1 2 求证 an 1 是等比数列 3 若bn 3f an g an 1 求 bn 的最大项与最小项 2 数形结合思想数与形是数学问题的两种表现形式 二者在本质上是高度统一的 利用数形结合的思想方法解决数列问题 往往可以达到化抽象为形象的效果 等差数列 an 中 sn是它的前n项和 已知a5 10 s3 3 求证 数列 sn 是单调递增数列 3 分类讨论思想分类讨论的思想是中学数学的基本思想之一 是历年高考的重点 分类讨论具有明显的逻辑推理特点 能够训练人的思维的层次性 条理性与概括性 已知 an 是公比为q的等比数列 且a1 a3 a2成等差数列 1 求q的值 2 设 bn 是以2为首项 q为公差的等差数列 其前n项和为sn 当n 2时 比较sn与bn的大小 并说明理由 4 等价转化的思想等价转化的思想是将不易求解的问题转化为易求解的问题 或已求出解的问题 从而使问题解决 在数列中 处处体现转化思想 等差 等比数列的一般解题思路为设基本量 转化成解方程或解方程组解题 等差数列的许多问题 单调性 前n项和的最值 可转化为不等式组 二次函数或利用图象来解题 而数列的求和问题也可转化为等差数列和等比数列 利用求和公式来求和 求数列的通项公式也是这样 而数列的许多问题 如数列应用题 也是将它转化为等差数列 等比数列问题 递推关系的问题 若数列 an 满足关系a1 3 an 1 2an 3 求数列的通项公式 1 一数列前n项和sn n n 1 2 n 2 22 2 2n 2 2n 1 则sn的表达式为 a sn 2n 1 2n n 2b sn 2n 1 n 2c sn 2n n 2d sn 2n 1 n 2 答案 d 答案 c 3 已知数列 an 是等差数列 且a1 2 a1 a2 a3 12 则数列 an 的前n项和公式sn 答案 n2 n 4 设an n2 10n 11 则数列 an 前n项的和最大时n的值为 解析 an n 5 2 36 当n 5时 an 递增 当n 6时 an 递减 令an 0得n2 10n 11 0 1 n 11 即1 n 10时 an 0 当n 12时 an 0 而a11 0 故前10项和等于前11项和 它们都最大 答案 10或11 6 已知数列 an 的前n项和为sn 且sn 2an 2 n n 数列