高考数学一轮复习 3.7 正弦定理、余弦定理及应用精品课件 文 新人教A版.ppt

考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 返回目录 考纲解读 考向预测 三角形的内容不仅能考查正 余弦定理的应用 而且能很好地考查三角变换的技巧 还可与立体几何 解析几何 向量 实际应用等知识相结合 因此是高考中常常出现的题型 各种题型都有可能出现 返回目录 2 a 2rsina b 2rsinb 3 sina sinb sinc 等形式 以解决不同的三角形问题 1 正弦定理 其中r是三角形外接圆的半径 由正弦定理可以变形为 a b c sina sinb sinc 1 2r c 2rsinc 返回目录 2 余弦定理 a2 b2 c2 余弦定理可以变形为 cosa cosb cosc 3 s abc absinc acsinb a b c r r是三角形内切圆的半径 并可由此计算r r b2 c2 2bccosa a2 c2 2accosb a2 b2 2abcosc bcsina 返回目录 4 在解三角形时 正弦定理可解决两类问题 1 已知两角及任一边 求其他边或角 2 已知两边及一边的对角 求其他边或角 情况 2 中结果可能有一解 二解 无解 应注意区分 余弦定理可解决两类问题 1 已知两边及夹角或两边及一边对角的问题 2 已知三边问题 5 解三角形的类型 abc中 已知a b和a时 解的情况如下 返回目录 返回目录 7 实际问题中的常用角 1 仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角 目标视线在水平视线叫仰角 目标视线在水平视线叫俯角 如图3 7 1中 6 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题 测量高度问题 测量角度问题 计算面积问题 航海问题 物理问题等 上方 下方 返回目录 2 方位角指从方向顺时针转到目标方向线的水平角 如b点的方位角为 如图3 7 1 3 坡度 坡面与水平面所成的二面角的度数 正北 返回目录 考点1正弦定理的应用 分析 利用正弦定理 求出sinb 再利用sin2b cos2b 1求出cosb 2010年高考湖北卷 在 abc中 a 15 b 10 a 60 则cosb a b c d 返回目录 解析 由正弦定理得sinb a b b 60 cosb 故应选a 返回目录 本题考查了正弦定理及同角三角函数基本关系式的应用 利用正弦定理可解决的问题是 1 已知两角一边可求第三角 解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可 2 已知两边和一边对角解三角形时 利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角 这是解题的难点 应引起注意 返回目录 在 abc中 ab 10 a 45 在bc边的长分别为20 5的情况下 求相应角c 由正弦定理 得sinc 当bc 20时 sinc bc ab a c c 30 当bc sinc ab sin45 1无解 返回目录 2010年高考湖南卷 在 abc中 角a b c所对的边长分别为a b c 若 c 120 c a 则 a a bb a bc a bd a与b的大小关系不能确定 分析 由余弦定理得出a b的关系 把边长c用a表示 再找出a2与b2的大小关系 考点2余弦定理的应用 返回目录 解析 由余弦定理得c2 a2 b2 2abcosc 又c 120 2a2 a2 b2 ab a2 b2 ab b2 a b 故应选a 本题考查了余弦定理的应用 关键是去掉c 找出a与b的关系 返回目录 在 abc中 a b c分别是角a b c的对边 且 1 求b的大小 2 若b a c 4 求 abc的面积 返回目录 解析 1 由余弦定理知 cosb cosc 将上式代入得整理得a2 c2 b2 ac cosb b为三角形的内角 b 返回目录 2 将b a c 4 b 代入b2 a2 c2 2accosb 得b2 a c 2 2ac 2accosb b2 16 2ac 1 ac 3 s abc acsinb 返回目录 在 abc中 角a b c的对边分别为a b c 且b2 c2 a2 bc 0 1 求角a的大小 2 若a 求bc的最大值 3 求的值 考点3正 余弦定理的综合应用 返回目录 分析 1 b2 c2 a2 bc 0的结构形式 可联想到余弦定理 求出cosa 从而求出a的值 2 由a 及b2 c2 a2 bc 0 可求出关于b c的关系式 利用不等式 即可求出bc的最大值 3 由正弦定理可实现将边化为角的功能 从而达到化简求值的目的 返回目录 解析 1 cosa 又 a 0 180 a 120 2 由a 得b2 c2 3 bc 又 b2 c2 2bc 当且仅当c b时取等号 3 bc 2bc 当且仅当c b时取等号 即当且仅当c b 1时 bc取得最大值为1 返回目录 3 由正弦定理得 返回目录 1 在三角形中求角 往往选择先求该角的余弦值 然后利用余弦函数在 0 上的单调性求角 2 正 余弦定理能实现边角转化 在解题时一定要重视 返回目录 已知 abc是半径为r的圆内接三角形 且2r sin2a sin2c a b sinb 1 求角c 2 试求 abc面积s的最大值 1 由2r sin2a sin2c a b sinb 两边同乘以2r 得 2rsina 2 2rsinc 2 a b 2rsinb 根据正弦定理 得a 2rsina b 2rsinb c 2rsinc a2 c2 a b b 即a2 b2 c2 ab 返回目录 再由余弦定理 得cosc 又0 c c 2 c a b s absinc 2rsina 2rsinb r2sinasinb r2sinasin r2 cosa sina r2 sin2a sinacosa 返回目录 0 a 2a 当且仅当2a 即a 时 sin 2a 1 s取到最大值r2 返回目录 已知方程x2 bcosa x acosb 0的两根之积等于两根之和 且a b为 abc的两边 a b为两内角 试判定这个三角形的形状 考点4判断三角形的形状 分析 先由已知条件得出三角形的边角关系 要判定三角形的形状 只需将边角关系转化为边之间或角之间的关系即可判定 返回目录 解析 方法一 设方程的两根为x1 x2 由韦达定理知x1 x2 bcosa x1x2 acosb 由题意有bcosa acosb 根据余弦定理得b a b2 c2 a2 a2 c2 b2 化简得a b abc为等腰三角形 返回目录 方法二 同方法一得bcosa acosb 由正弦定理得2rsinbcosa 2rsinacosb sinacosb cosasinb 0 即sin a b 0 0 a 0 b a b a b 0 即a b 故 abc为等腰三角形 返回目录 由三角形的边角关系判定三角形的形状 其基本思路是根据正弦定理和余弦定理进行边角变换 全化为边的关系或全化为角的关系 一般化为角较方便 然后利用简单的平面几何知识即可判定 应注意式子的等价变形和隐含条件的挖掘 以免漏解或增解 返回目录 2010年高考上海卷 某人要作一个三角形 要求它的三条高的长度分别是 则此人将 a 不能作出满足要求的三角形b 作出一个锐角三角形c 作出一个直角三角形d 作出一个钝角三角形 返回目录 解析 设三角形三边长为a b c 根据三角形面积相等得s a c b a 26s c 10s b 22s 由大角对大边得26s对应的角最大 又a 0 a为钝角 故应选d 返回目录 考点5正 余弦定理的实际应用 2010年高考陕西卷 如图 a b是海面上位于东西方向相距5 3 海里的两个观测点 现位于a点北偏东45 b点北偏西60 的d点有一艘轮船发出求救信号 位于b点南偏西60 且与b点相距20海里的c点的救援船立即前往营救 其航行速度为30海里 时 该救援船到达d点需要多长时间 返回目录 分析 利用正弦定理求出bd长度 在 bcd中利用余弦定理可求出cd的长度 由速度可求时间 解析 由题意知ab 5 3 海里 dba 90 60 30 dab 90 45 45 adb 180 45 30 105 在 dab中 由正弦定理得 返回目录 103 海里 又 dbc dba abc 30 90 60 60 bc 20 海里 在 dbc中 由余弦定理得cd2 bd2 bc2 2bd bc cos dbc 300 1200 2 10 20 12 900 返回目录 本题主要考查运用正弦定理和余弦定理解三角形 把实际问题转化为解三角形的问题 同时考查运用数学知识解决实际问题的能力和运算求解能力 cd 30 海里 需要的时间t 1 小时 答 救援船到达d点需要1小时 返回目录 在 abc中 已知a b 2 b 45 求角a c和边c的值 解析 b 45 90 且b a abc有两解 由正弦定理 得 即sina a 60 或120 返回目录 1 当a 60 时 c 180 a b 75 此时 2 当a 120 时 c 180 a b 15 此时 a 60 c 75 c 1或a 120 c 15 c 1 返回目录 1 正 余弦定理和三角形面积公式是本学案的重点 利用三角形内角和 边 角之间的关系 三角函数的变形公式去判断三角形的形状 求解三角形 以及利