高中数学 351二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 精品课件同步导学 新人教B版必修5.ppt

3 5二元一次不等式 组 与简单的线性规划问题 3 5 1二元一次不等式 组 所表示的平面区域 1 直线方程的一般形式为 2 坐标平面上位于第一象限的所有点构成的集合为 3 已知直线2x 3y 1 0 则点 0 1 位于直线的 点 0 1 位于直线的 原点 0 0 位于直线的 ax by c 0 x y x 0 y 0 上方 下方 下方 1 二元一次不等式 组 的概念二元一次不等式是指含有未知数 且未知数的最高次数为的不等式 二元一次不等式组是指由几个总共含有两个未知数 且未知数的最高次数为1的不等式构成的不等式组 2 二元一次不等式 组 表示的平面区域 1 开半平面与闭半平面直线l ax by c 0把坐标平面分为 每个部分叫做开半平面 开半平面与叫做闭半平面 两个 两部分 1 l的并集 2 不等式表示的区域以为坐标的所有点构成的集合 叫做不等式表示的区域或不等式的图象 3 直线两侧的点的坐标满足的条件直线l ax by c 0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分 直线l的同一侧的点的坐标使式子ax by c的值具有的符号 并且两侧的点的坐标使ax by c的值的符号 一侧都 另一侧都 不等式 组 的解 相同 相反 大于0 小于0 4 二元一次不等式表示区域的确定在直线l的某一侧一点 检测其坐标是否满足二元一次不等式 如果 则该点区域就是所求的区域 否则l的就是所求的区域 如果直线不过 则用的坐标来进行判断 比较方便 任取 满足 所在的一侧 另一侧 原点 原点 已知点a 3 1 和b 4 6 在直线3x 2y a 0的同侧 能否确定a的取值范围 提示 能 a b在直线的同侧 3 3 2 1 a 4 3 2 6 a 0 即 a 7 a 24 0 a24 画出下面二元一次不等式表示的平面区域 1 x 2y 4 0 2 y 2x 思路点拨 先定界 再定侧 即先画出边界直线 再用特殊点分析确定在直线的哪一侧 解析 1 设f x y x 2y 4 画出直线x 2y 4 0 f 0 0 0 2 0 4 4 0 x 2y 4 0表示的区域为含 0 0 的一侧 因此所求为如图所示的区域 包括边界 2 设f x y y 2x 画出直线y 2x 0 f 1 0 0 2 1 2 0 y 2x 0 即y 2x 表示的区域为不含 1 0 的一侧 因此所求为如图所示的区域 不包括边界 在画二元一次不等式表示的平面区域时 应用 以线定界 以点定域 的方法画平面区域 先画ax by c 0 取点代入ax by c验证 在取点时 若直线不过原点 一般用 原点定域 若直线过原点 则可取点 1 0 或 0 1 这样可以简化运算 画出所求区域 若包括边界则用实线 若不包括边界 则用虚线 1 画出下列不等式表示的平面区域 1 2x y 10 0 2 y 2x 3 解析 1 先画出直线2x y 10 0 画成虚线 取点 0 0 代入2x y 10 有2 0 0 10 10 0 2x y 10 0表示的区域是直线2x y 10 0的左下方的平面区域 如图 1 所示 2 将y 2x 3变形为2x y 3 0 首先画出2x y 3 0 画成实线 取点 0 0 代入2x y 3 有2 0 0 3 3 0 2x y 3 0表示的平面区域是直线2x y 3 0的左下方的平面区域 2x y 3 0表示的区域是直线2x y 3 0以及左下方的平面区域 如图 2 所示 思路点拨 先分别画出三个不等式所表示的平面区域 它们的公共部分即为不等式组表示的平面区域 解析 如图所示 不等式x y 5 0表示直线x y 5 0上及右下方的点的集合 不等式x y 1 0表示直线x y 1 0右上方的点的集合 不含边界 不等式x 3表示直线x 3上及左方的点的集合 所以不等式组表示上述平面区域的公共部分 阴影部分 在画二元一次不等式组表示的平面区域时 应先画出每个不等式表示的区域 再取它们的公共部分即可 其步骤为 画线 定侧 求 交 解析 不等式x 3表示直线x 3左侧的平面区域 不等式2y x 即x 2y 0表示直线x 2y 0及左上方的平面区域 不等式3x 2y 6 即3x 2y 6 0表示直线3x 2y 6 0及右上方的平面区域 不等式3y x 9 即x 3y 9 0表示直线x 3y 9 0表示直线x 3y 9 0右下方的平面区域 综上可得不等式组表示的平面区域如图阴影部分 一个小型家具厂计划生产两种类型的桌子a和b 每类桌子都要经过打磨 着色 上漆三道工序 桌子a需要10min打磨 6min着色 6min上漆 桌子b需要5min打磨 12min着色 9min上漆 如果一个工人每天打磨和上漆分别至多工作450min 着色每天至多工作480min 列出满足生产条件的数学关系式 并画出相应的平面区域 思路点拨 解答本题可先根据打磨 着色 上漆的时间限制列出不等式组 再根据不等式组画出平面区域 解析 设计划生产桌子ax张 桌子by张 由题意得每天打磨至多工作450min 所以10 x 5y 450 每天上漆至多工作450min 所以6x 9y 450 每天着色至多工作480min 所以6x 12y 480 另外还有x y n 生产两类桌子所满足的生产条件是图中阴影部分的整数点所表示的条件 充分利用已知条件 找出不等关系 根据不等式组画出适合条件的平面区域 实际问题要注意实际意义对变量的限制 解析 不等式x 2y 20表示直线x 2y 20上及左下方的点的集合 不等式2x y 16 0表示直线2x y 16 0上及左下方的点的集合 x 0表示y轴及其右方的点的集合 y 0表示x轴及其上方的点的集合 所以不等式组 1 判定二元一次不等式表示的平面区域判定二元一次不等式表示的平面区域的常用方法是以线定界 以点 原点 定域 以ax by c 0为例 1 以线定界 即画二元一次方程ax by c 0表示的直线定边界 其中要注意实线或虚线 2 以点定域 由于对在直线ax by c 0同侧的点 实数ax by c的值的符号都相同 故为了确定ax by c的符号 可采用取特殊点法 如取原点等 2 判断一个二元一次不等式表示对应直线的哪一侧 通常有两种方法 1 特殊点法作为直线ax by c 0 在直线的一侧任取一点p x0 y0 若ax0 by0 c 0 则包含此点p的半平面为不等式ax by c 0所表示的平面区域 不包含点p的半平面为不等式ax by c 0所表示的平面区域 2 观察法 先将不等式化为一般形式ax by c 0 或 0或 0或 0 其中a 0 当a 0时较易判定 当a 0时 直线ax by c 0与x轴相交 不等式ax by c 0取右侧区域 ax by c 0取左侧区域 如下图 3 判断二元一次不等式组表示的平面区域 1 不等式组表示的区域是各个不等式表示的区域的公共部分 2 三个或三个以上不等式构成的不等式组画区域时 可先画出两个不等式的公共区域 再与第三个不等式找公共区域 依次类推找下去 画出二元一次不等式2y 5x 10 0表示的区域 错解 作出直线2y 5x 10 0 即5x 2y 10 0 将 0 0 代入5x 2y 10可得5 0 2 0 10 0 所求区域为含有 0 0 的一侧 如图所示 错因 取特殊点检验时 应代入原式 2y 5x 10 而不能代入变形后的 5x 2y 10 进行检验 正解 设f x y 2y 5x 10 作出直线2y 5x 10 0 f 0 0 2 0 5 0 10 10 0 所求区域为不含 0 0 的一侧 如图所示 1