高考数学总复习 第3单元 第3节 导数的应用2课件 文 苏教版.ppt

第三节导数的应用 2 基础梳理 1 函数的最大值与最小值 1 概念 如果在函数定义域i内存在x0 使得对任意的x i 总有f x f x0 或f x f x0 则称f x0 为函数在定义域上的最大值 或最小值 2 求f x 在区间 a b 上的最大值与最小值可以分为两步 第一步 求f x 在区间 a b 上的极值 第二步 将第一步中求得的极值与f a f b 比较 得f x 在区间 a b 上的最大值与最小值 2 生活中经常遇到求利润最大 用料最省 效率最高等问题 这些问题通常称为优化问题 导数在这一类问题中有着重要的应用 它是求函数最大 小 值的强有力的工具 3 导数常常和解含参数的不等式 不等式的证明结合起来 应注意导数在这两方面的应用 基础达标 1 已知f x x2f 2 3x 则f 3 2 若函数f x x3 3x a有3个不同的零点 则实数a的取值范围是 3 选修2 2p32第3 1 题改编 函数f x 2x2 x4 x 2 2 的值域为 4 设函数f x x3 2x 5 若对任意x 1 2 都有f x m 则实数m的取值范围是 5 有一边长分别为8与5的长方形 在各角剪去相同的小正方形 把四边折起做成一个无盖小盒 要使纸盒的容积最大 问剪去的小正方形的边长应为 答案 1 3解析 f x 2f 2 x 3 将x 2代入得f 2 4f 2 3 解得f 2 1 故f x 2x 3 将x 3代入得f 3 2 3 3 3 2 2 2 解析 f x 3x2 3 令f x 0解得x 1或x 1 结合图象分析可解得 2 a 2 3 8 1 解析 f x 4x 4x3 4x 1 x 1 x 0 解得x 1或0 x 1 即 2 1 0 1 为函数的增区间 1 0 1 2 为函数的减区间 而f 2 f 2 8 f 0 0 f 1 f 1 1 所以函数的最小值为 8 函数的最大值为1 4 解析 由f x 3x2 x 2 0 得x1 1 x2 易知当x 和x 1 2 时 f x 0 当x 时 f x 0 x 1是极小值点 x 是极大值点 f 1 又f 1 f 2 7 f x min f 1 m 5 18解析 设正方形边长为x 则v 8 2x 5 2x x 2 2x3 13x2 20 x v 4 3x2 13x 10 由v 0得x 1 或x 舍去 当0 x 1时 v 0 当1 x 时 v 0 所以当x 1时 v有最大值 即当x 1时 容积v取最大值为18 经典例题 题型一函数的最值与导数 例1 2010 陕西改编 已知函数f x g x alnx a r 设函数h x f x g x 当h x 存在最小值时 求其最小值f a 的解析式 解 由条件知h x alnx x 0 所以h x 当a 0时 令h x 0 解得x 4a2 所以当0 x 4a2时 h x 0 h x 在 0 4a2 上递减 当x 4a2时 h x 0 所以x 4a2是h x 在 0 上的唯一极值点 且是极小值点 从而也是h x 的最小值点 所以f a h 4a2 2a 1 ln2a 当a 0时 h x 0 h x 在 0 递增 无最小值 故h x 的最小值f a 2a 1 ln2a a 0 变式1 1已知a为实数 函数f x x2 1 x a 若f 1 0 求函数y f x 在上的最大值和最小值 解 f x 3x2 2ax 1 f 1 0 3 2a 1 0 即a 2 f x 3x2 4x 1 3 x 1 由f x 0 得x 1或x 由f x 0 得 1 x 因此 函数f x 的单调递增区间为和 单调递减区间为 f x 在x 1处取得极大值f 1 2 在x 处取得极小值f 又 f f 1 6 且 f x 在上的最大值为f 1 6 最小值为f 题型二导数的实际应用 例2 一种变压器的铁芯的截面为正十字形 如图 为保证所需的磁通量 要求十字型具有4cm2的面积 问应如何设计正十字形的宽xcm及长ycm 才能使其外接圆的周长最短 这样使绕在铁芯上的漆包线最省 解 设外接圆的半径为rcm 则 由x2 4 x 4 得y 要使外接圆的周长最小 需要r取最小值 也即r2取最小值 设f x r2 x2 0 x 2r 则f x x 令f x x 0 解得x 2或x 2 舍去 当0 x 2时 f x 0 当x 2时 f x 0 因此当x 2时 y 1 此时r2最小 即r最小 则周长最小为2 r cm 变式2 1统计表明 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y 升 关于行驶速度x 千米 时 的函数解析式可以表示为y x3 x 8 0 x 120 已知甲 乙两地相距100千米 1 当汽车以40千米 时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地要耗油多少升 2 当汽车以多大的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为多少升 解 1 当x 40时 汽车从甲地到乙地行驶了 2 5 小时 要耗油 2 5 17 5 升 答 当汽车以40千米 时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油17 5升 2 当速度为x千米 时时 汽车从甲地到乙地行驶了小时 设耗油量为h x 升 依题意得h x x2 0 x 120 h x 0 x 120 令h x 0 得x 80 当x 0 80 时 h x 0 h x 是减函数 当x 80 120 时 h x 0 h x 是增函数 当x 80时 h x 取到极小值h 80 11 25 h x 在 0 120 上只有一个极值 它是最小值 答 当汽车以80千米 时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为11 25升 题型三导数与其他知识的综合应用 例3 已知定义在正实数集上的函数f x x2 2ax g x 3a2lnx b 其中a 0 设两曲线y f x y g x 有公共点 且在该点处的切线相同 1 用a表示b 并求b的最大值 2 求证 f x g x x 0 解 1 设y f x 与y g x x 0 在公共点 x0 y0 处的切线相同 f x x 2a g x 由题意知f x0 g x0 f x0 g x0 即由x0 2a 得x0 a 或x0 3a 舍去 即有b a2 2a2 3a2lna a2 3a2lna 令h t t2 3t2lnt t 0 则h t 2t 1 3lnt 当t 1 3lnt 0 即0 t 时 h t 0 当t 1 3lnt 0 即t 时 h t 0 故h t 在 0 上为增函数 在 上为减函数 于是h t 在 0 上的最大值为h 即b的最大值为 2 证明 设f x f x g x x2 2ax 3a2lnx b x 0 则f x x 2a x 0 故f x 在 0 a 上为减函数 在 a 上为增函数 于是f x 在 0 上的最小值是f a f x0 f x0 g x0 0 故当x 0时 有f x g x 0 即当x 0时 f x g x 链接高考 1 2010 山东改编 已知某生产厂家的年利润y 单位 万元 与年产量x 单位 万件 的函数关系式为y x3 81x 234 则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 万件 知识准备 1 要知道年利润的最大值就是函数y的最大值 2 已知函数最高次数为3次 必须用导数来求最值 答案 9解析 令导数y x2 81 0 解得0 x 9 令导数y x2 81 0 解得x 9 所以函数y x3 81x 234在区间 0 9 上是增函数 在区间 9 上是减函数 所以在x 9处取极大值 也是最大值 2 2010 湖北 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗 房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层 某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层 每厘米厚的隔热层建造成本为6万元 该建筑物每年的能源消耗费用c 单位 万元 与隔热层厚度x 单位 cm 满足关系 c x 0 x 10 若不建隔热层 每年能源消耗费用为8万元 设f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和 1 求k的值及f x 的表达式 2 隔热层修建多厚时 总费用f x 达到最小 并求最小值 知识准备 1 根据题意 要知道不建隔热层 每年能源消耗费用为8万元 即当x 0时 c 8 2 总费用的最小值可通过建立f x 与x的关系式来求 解 1 设隔热层厚度为xcm 由题设 每年能源消耗费用为c x 再由c 0 8 解得k 40 故