《高考调研》高三数学第一轮复习 第十一章《排列、组合和二项式定理》课件113.ppt

1 二项式定理的内容 1 a b n cn0an cn1an 1b1 cnran rbr cnnbn n n 2 第r 1项 tr 1 3 第r 1项的二项式系数为 cnran rbr cnr r 0 1 n 2 二项式系数的性质 1 0 k n时 cnk与cnn k的关系是 相等 答案20 答案a 3 若 cos x 5的展开式中x3的系数为2 则sin 2 4 设n n 则cn1 cn2 6 cn3 62 cnn 6n 1 答案b解析由通项公式可得展开式中含x4项为t8 1 c88x4 x4 故含x4项的系数为1 令x 1 得展开式的系数和s 1 故展开式中不含x4项的系数的和为1 1 0 题型一求展开式中的项例1 1 2010 江西卷 1 x 10展开式中x3项的系数为 a 720b 720c 120d 120 解析 由通项公式tr 1 c10r x r 1 rc10r xr 令r 3 可得t3 1 c103 x 3 120 x3 故选d 答案 d 4 求 1 x x2 8展开式中x5的系数 解析 法一 通项公式法 1 x x2 8 1 x x2 8展开后的通式公式是tr 1 c8r x x2 r 则x5的系数由 x x2 r决定 而 x x2 r的展开通项公式是t k 1 crkxr kx2k crkxr k 所以 1 x x2 8展开式的通项公式是c8rcrkxr k 其中0 k r 8 r k 5 r k n 法二 逐项研究法 1 x x2 8 1 x x2 8 c80 1 x 8 c81 1 x 7 x2 c82 1 x 6 x2 2 c83 1 x 5 x2 3 c88 1 x 0 x2 8 则展开式中含x5的系数为c80c85 c81c73 c82c61 504 法三 基本原理法 将 1 x x2 8写成八个因式乘积的形式 1 x x2 8 1 x x2 1 x x2 1 x x2 1 x x2 共8个 这八个因式中乘积展开式中形式x5的来源有三 有两个括号各出一个x2 其余六个括号中恰有一个括号出一个x 这种方式共有c82c61种 有一个括号出一个x2 其余七个括号中恰有三个括号各出一个x 共有c81c73种 没有一个括号出一个x2 恰有五个括号各出一个x 共有c85种 故x5的系数是c82c61 c81c73 c85 504 探究1求二项展开式中指定项 关键是研究通项公式 对多个多项式相乘成三项式 要结合通项 打出指数的组成规律 确定项的组成规律 思考题1 1 2010 湖北卷 在 1 x2 10的展开式中 x4的系数为 解析 注意到二项式 1 x2 10的展开式的通项是tr 1 c10r 110 r x2 r c10r 1 r x2r 因此 1 x2 10的展开式中 x4的系数等于c102 1 2 45 答案 45 解析 通项公式为tr 1 c9rx9 r a rx r a rc9rx9 2r 令9 2r 3 得r 3 故 a 3c93 84 解得a 1 答案 1 题型二二项式系数的性质 解析 根据二项式系数的性质 列方程求解n 系数绝对值最大的问题需要列不等式组求解 由题意知 22n 2n 992 即 2n 32 2n 31 0 2n 32 解得n 5 探究2本例中是求 系数绝对值最大的项 若改为 系数最大的项 又该如何处理 因为第4项的系数为负值 所以系数最大项必是第3项或第5项中的某一项 比较这两项的系数c10228与c10426的大小即可 思考题2在 1 x n n n 的二项展开式中 若只有x5的系数最大 则n a 8b 9c 10d 11 解析 x5的系数是第6项 它是中间项 n 10 选c 答案 c 题型三二项式系数和例3已知 1 2x 7 a0 a1x a2x2 a7x7 求 1 a1 a2 a7 2 a1 a3 a5 a7 3 a0 a2 a4 a6 4 a0 a1 a2 a7 探究3 求二项式展开式的各项系数和问题常用赋值法 注意区别各项系数与各项的二项式系数是不同的 题型四二项式定理的综合应用例4 1 求证 n n且n 3时 2n 1 n 1 2 求证 32n 2 8n 9 n n 能被64整除 3 计算1 056 精确到0 01 解析 1 n 3时 2n 1 1 n 1 n cn2 n 1 2 2n 2n 1 n 1 2 原式 1 8 n 1 8n 9 1 cn 1181 cn 1282 cn 1n 18n 1 8n 9 cn 1282 cn 1383 cn 1n 18n 1 64 cn 12 cn 138 cn 1n 18n 1 cn 12 cn 13 cn 1n 1均为自然数 上式各项均为64的整数倍 32n 2 8n 9 n n 能被64整除 3 1 056 1 0 05 6 1 6 0 05 15 0 052 1 0 3 0 0375 1 34 探究4 1 二项式定理的一个重要用途是做近似计算 当n不很大 x 比较小时 1 x n 1 nx 2 在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形 使被除式 数 展开后的每一项都含有除式的因式 3 由于 a b n的展开式共有n 1项 故可以通过对某些项的取舍来放缩 从而达到证明不等式的目的 1 一定要牢记通项tr 1 cnran rbr 注意 a b n与 b a n虽然相同 但具体到它们展开式的某一项时是不相同的 2 对于二项式系数问题 首先要熟记二项式系数的性质 其次要掌握赋值法 答案d 3 2010 山东烟台 x 1 3 x 2 8 a0 a1 x 1 a2 x 1 2 a8 x 1 8 则a6 答案28解析 x 1 3 x 2 8 x 1 2 3 x 1 1 8 a6 x 1 6 c82 x 1 6 1 2 28 x 1 6 a6 28 4 09 江西 1 ax by n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243 不含y的项的系数绝对值的和为32 则a b n的值可能为 a a 2 b 1 n 5b a 2 b 1 n 6c a 1 b 2 n 6d a 1 b 2 n 5答案d 解析注意到 1 ax by n 1 ax by n 1 by ax n 因此依题意得 1 b n 243 35 1 a n 32 25 于是结合各选项逐一检验可知 当