高考数学一轮复习 点、直线、平面之间的位置关系专题训练(1).doc

点、直线、平面之间的位置关系一、基础知识要记牢空间线线、线面、面面的位置关系的认识和判定是学习立体几何的基础，要在空间几何体和空间图形中理解、表述位置关系，发展空间想象能力二、经典例题领悟好例1(1)(2013安徽高考)在下列命题中，不是公理的是()a平行于同一个平面的两个平面相互平行b过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面c如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内d如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线(2)(2013广东高考)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是()a若，m，n，则mnb若，m，n，则mnc若mn，m，n，则d若m，mn，n，则解析(1)a，不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；b，c，d均是平面的基本性质公理(2)如图，在长方体abcda1b1c1d1中，平面bcc1b1平面abcd，bc1平面bcc1b1，bc平面abcd，而bc1不垂直于bc，故a错误；平面a1b1c1d1平面abcd，b1d1平面a1b1c1d1，ac平面abcd，但b1d1和ac不平行，故b错误aba1d1，ab平面abcd，a1d1平面a1b1c1d1，但平面a1b1c1d1平面abcd，故c错误答案(1)a(2)d解决空间线面位置关系的判断题的常用方法(1)根据空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断三、预测押题不能少1设是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则下列命题中正确的是()a若m，n，lm，ln，则lb若m，n，ln，则lmc若m，n，则nmd若lm，ln，则nm解析：选cm，n，lm，ln，需要mna才有l，选项a错误；若m，n，ln，l与m可能平行、相交、异面，选项b错误；若lm，ln，l与m可能平行、相交、异面，选项d错误.线线、线面平行与垂直的证明一、基础知识要记牢(1)线面平行的判定定理：a，b，aba.(2)线面平行的性质定理：a，a，bab.(3)线面垂直的判定定理：m，n，mnp，lm，lnl.(4)线面垂直的性质定理：a，bab.二、经典例题领悟好例2(2013郑州市质量预测)如图，正三棱柱abca1b1c1的所有棱长都为2，d为cc1的中点(1)求证：ab1平面a1bd；(2)设点o为ab1上的动点，当od平面abc时，求的值解(1)证明：取bc的中点为m，连接am，b1m.在正三棱柱abca1b1c1中，平面abc平面bcc1b1，abc为正三角形，所以ambc，故am平面bcc1b1，又bd平面bcc1b1，所以ambd.又正方形bcc1b1中，tanbb1mtancbd，所以bdb1m，又b1mamm，所以bd平面ab1m，故ab1bd，正方形baa1b1中，ab1a1b，又a1bbdb，所以ab1平面a1bd.(2)取aa1的中点为n，连接nd，od，on.因为n，d分别为aa1，cc1的中点，所以nd平面abc.又od平面abc，ndodd，所以平面nod平面abc，所以on平面abc，又on平面baa1b1，平面baa1b1平面abcab，所以onab，注意到aba1b1，所以ona1b1，又n为aa1的中点，所以o为ab1的中点，即1.(1)正确并熟练掌握空间中平行与垂直的判定定理与性质定理，是进行判断和证明的基础；在证明线面关系时，应注意几何体的结构特征的应用，尤其是一些线面平行与垂直关系，这些都可以作为条件直接应用.(2)证明立体几何问题，要紧密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识，因此需要多画出一些图形辅助使用.三、预测押题不能少2.已知在如图的多面体中，ae底面befc，adefbc，beadefbc，g是bc的中点(1)求证：ab平面deg；(2)求证：eg平面bdf.证明：(1)adbc，bc2ad，g是bc的中点，ad綊bg，四边形adgb是平行四边形，abdg.ab平面deg，dg平面deg，ab平面deg.(2)连接gf，易知四边形adfe是矩形dfae，ae底面befc，df平面befc.又eg平面befc，dfeg.ef綊bg，efbe，四边形bgfe为菱形，bfeg.又bfdff，bf平面bdf，df平面bdf，eg平面bdf.面面平行与垂直的证明一、基础知识要记牢(1)面面平行的判定定理：a，b，abp，a，b.(2)面面平行的性质定理：a，a，bab.(3)面面垂直的判定定理：a，a.(4)面面垂直的性质定理：，l，a，ala.二、经典例题领悟好例3(2013北京高考)如图，在四棱锥pabcd中，abcd，abad，cd2ab，平面pad底面abcd，paad，e和f分别为cd和pc的中点，求证：(1)pa底面abcd；(2)be平面pad；(3)平面bef平面pcd.证明(1)因为平面pad底面abcd，且pa垂直于这两个平面的交线ad，所以pa底面abcd.(2)因为abcd，cd2ab，e为cd的中点，所以abde，且abde.所以abed为平行四边形所以bead.又因为be平面pad，ad平面pad，所以be平面pad.(3)因为abad，而且abed为平行四边形，所以becd，adcd.由(1)知pa底面abcd，所以pacd，所以cd平面pad.所以cdpd.因为e和f分别是cd和pc的中点，所以pdef，所以cdef.又因为cdbe，efbee，所以cd平面bef.所以平面bef平面pcd.(1)证明面面平行依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行.(2)证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中线、高线或添加辅助线解决.三、预测押题不能少3.如图，在几何体abcde中，abad2，abad，ae平面abd，m为线段bd的中点，mcae，且aemc.(1)求证：平面bcd平面cde；(2)若n为线段de的中点，求证：平面amn平面bec.证明：(1)abad2，abad，m为线段bd的中点，ambd，ambd.ae平面abd，mcae，mc平面abd，am，bd平面abd.mcam，mcbd.又mcbdm，am平面cbd.又aemc，四边形amce为平行四边形，ecam，ec平面cbd，ec平面cde，平面bcd平面cde.(2)m为bd的中点，n为de的中点，mnbe.由(1)知ecam且ammnm，beece，平面amn平面bec.求线面角一、基础知识要记牢平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，是这条直线和这个平面所成的角，当一条直线垂直于平面时，规定它们所成的角是直角，其角的范围为(0，二、经典例题领悟好例4(2013浙江高考)如图，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，abbc2，adcd，pa，abc120.g为线段pc上的点(1)证明：bd平面apc；(2)若g是pc的中点，求dg与平面apc所成的角的正切值；(3)若g满足pc平面bgd，求的值解(1)证明：设点o为ac，bd的交点由abbc，adcd，得bd是线段ac的中垂线所以o为ac的中点，bdac.又因为pa平面abcd，bd平面abcd，所以pabd.又acpaa，所以bd平面apc.(2)连接og.由(1)可知od平面apc，则dg在平面apc内的射影为og，所以ogd是dg与平面apc所成的角由题意得ogpa.在abc中，ac2，所以ocac.在直角ocd中，od2.在直角ogd中，tanogd.所以dg与平面apc所成的角的正切值为.(3)连接og.因为pc平面bgd，og平面bgd，所以pcog.在直角pac中，得pc.所以gc.从而pg，所以.求直线与平面所成的角的一般步骤(1)找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；(2)计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解三、预测押题不能少4如图，三棱柱abca1b1c1中， 侧棱a1a底面abc，且各棱长均相等，d，e，f分别为棱ab，bc，a1c1的中点(1)证明：ef平面a1cd； (2)证明：平面a1cd平面a1abb1； (3)求直线bc与平面a1cd所成角的正弦值解：(1)证明：如图，在三棱柱abca1b1c1中，aca1c1，且aca1c1，连接ed，在abc中，因为d，e分别为ab，bc的中点，所以deac且deac，又f为a1c1的中点，可得a1fde，且a1fde，即四边形a1def为平行四边形，所以efda1，又ef平面a1cd，da1平面a1cd，所以ef平面a1cd.(2)证明：由于底面abc是正三角形，d为ab的中点，故cdab，又侧棱a1a底面abc，cd平面abc，所以aa1cd，又aa1aba，因此cd平面a1abb1，而cd平面a1cd，所以平面a1cd平面a1abb1.(3)在平面a1abb1内，过点b作bga1d交直线a1d于点g，连接cg.由于平面a1cd平面a1abb1，而直线a1d是平面a1cd与平面a1abb1的交线，故bg平面a1cd.由此得bcg为直线bc与平面a1cd所成的角设棱长为a，可得a1d，则a1adbgd，易得bg，在rtbgc中，sinbcg.所以直线bc与平面a1cd所成角的正弦值为.高考中，本节主要考查空间线面的平行关系与垂直关系的证明问题近年来，“翻折”问题、“探索性”问题成为一些省份新的命题点(如2013广东卷18题)立体几何与翻折问题交汇一、经典例题领悟好例1(2013广东高考)如图1，在边长为1的等边三角形abc中，d，e分别是ab，ac上的点，adae，f是bc的中点，af与de交于点g.将abf沿af折起，得到如图2所示的三棱锥abcf，其中bc.(1)证明：de平面bcf；(2)证明：cf平面abf；(3)当ad时，求三棱锥fdeg的体积vfdeg.解(1)证明：法一：在折叠后的图形中，因为abac，adae，所以，所以debc.因为de平面bcf，bc平面bcf，所以de平面bcf.法二：在折叠前的图形中，因为abac，adae，所以，所以debc，即dgbf，egcf.在折叠后的图形中，仍有dgbf，egcf.又因为dg平面bcf，bf平面bcf，所以dg平面bcf，同理可证eg平面bcf.又dgegg，dg平面deg，eg平面deg，故平面deg平面bcf.又de平面deg，所以de平面bcf.(2)证明：在折叠前的图形中，因为abc为等边三角形，bfcf，所以afbc，则在折叠后的图形中，afbf，afcf.又bfcf，bc，所以bc2bf2cf2，所以bfcf.又bfaff，bf平面abf，af平面abf，所以cf平面abf.(3)由(1)知，平面deg平面bcf，由(2)知afbf，afcf，又bfcff，所以af平面bcf，所以af平面deg，即gf平面deg.在折叠前的图形中，ab1，bfcf，af.由ad知，又dgbf，所以，所以dgeg，ag，所以fgafag.故三棱锥fdeg的体积为v三棱锥fdegsdegfg2.(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量， 而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口.(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形.二、预测押题不能少1如图1，等腰梯形abcd中，bcad，cead，ad3bc3，ce1.将cde沿ce折起得到四棱锥fabce(如图2)，g是af的中点(1)求证：bg平面fce；(2)当平面fce平面abce时，求三棱锥fbeg的体积解：(1)证明：取ef的中点m，连接gm、mc，则gm綊ae.又等腰梯形abcd中，bc1，ad3，bc綊ae.gm綊bc，四边形bcmg是平行四边形，bgcm.又cm平面fce，bg平面fce，bg平面fce.(2)平面fce平面abce，平面fce平面abcece，又ef平面fce，fece，fe平面abce.又vfbegvbgefvbaefvfabe，sabe211，vfbeg11.立体几何中探索性问题一、经典例题领悟好例2(2013北京海淀模拟)在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，abc是正三角形，ac与bd的交点m恰好是ac的中点，又cad30，paab4，点n在线段pb上，且.(1)求证：bdpc；(2)求证：mn平面pdc；(3)设平面pab平面pcdl，试问直线l是否与直线cd平行，请说明理由(1)bd面p acbdac(2)(3)假设lcdcd面p abcdab与已知矛盾(1)证明：因为abc是正三角形，m是ac的中点，所以bmac，即bdac.又因为pa平面abcd，bd平面abcd，所以pabd.又paaca，所以bd平面pac，又pc平面pac，所以bdpc.(2)证明：在正三角形abc中，bm2.在acd中，因为m为ac的中点，dmac，所以adcd，cda120，所以dm，所以bmmd31，所以bnnpbmmd，所以mnpd，又mn平面pdc，pd平面pdc，所以mn平面pdc.(3)假设直线lcd，因为l平面pab，cd平面pab，所以cd平面pab.又cd平面abcd，平面pab平面abcdab，所以cdab.又知cd与ab不平行，所以直线l与直线cd不平行(1)探索性问题一般有判断存在型、条件探索型、结论探索型、类比推理型、知识重组型等问题，立体几何中探索性问题以判断存在型为主.,解决此问题的一般步骤为：首先假设其存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾结论就否定假设.(2)立体几何中应用转化与化归思想的常见题目类型：证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.平行与垂直关系间的转化.平面图形与空间图形通过折叠进行的转化.二、预测押题不能少2.如图，在菱形abcd中，ma平面abcd，且四边形adnm是平行四边形(1)求证：acbn；(2)当点e在ab的什么位置时，使得an平面mec，并加以证明解：(1)证明：连接bd，则acbd.由已知得dn平面abcd，所以dnac.因为dndbd，所以ac平面ndb.又bn平面ndb，所以acbn.(2)当e为ab的中点时，有an平面mec.证明如下：设cm与bn交于f，连接ef.由已知可得四边形bcnm是平行四边形，f是bn的中点，因为e是ab的中点，所以anef.又ef平面mec，an平面mec，所以an平面mec.1(2013郑州质量预测)设，分别为两个不同的平面，直线l，则“l”是“”成立的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件解析：选a依题意，由l，l可以推出；反过来，由，l不能推出l.因此“l”是“”成立的充分不必要条件，选a.2(2013山西重点中学联考)已知l，m，n是空间中的三条直线，命题p：若ml，nl，则mn；命题q：若直线l，m，n两两相交，则直线l，m，n共面，则下列命题为真命题的是()apq bpqcp(綈q) d(綈p)q解析：选c命题p中，m，n可能平行，还可能相交或异面，所以命题p为假命题；命题q中，当三条直线交于三个不同的点时，三条直线一定共面，当三条直线交于一点时，三条直线不一定共面，所以命题q也为假命题所以綈p和綈q都为真命题，故p(綈q)为真命题3(2013浙江高考)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面()a若m，n，则mn b若m，m，则c若mn，m，则n d若m，则m解析：选c选项a中的m，n可以相交，也可以异面；选项b中的与可以相交；选项d中的m与的位置关系可以平行、相交、m在内4(2013广东高考)设l为直线，是两个不同的平面下列命题中正确的是()a若l，l，则 b若l，l，则c若l，l，则 d若，l，则l解析：选b画出一个长方体abcda1b1c1d1.对于a，c1d1平面abb1a1，c1d1平面abcd，但平面abb1a1与平面abcd相交；对于c，bb1平面abcd，bb1平面add1a1，但平面abcd与平面add1a1相交；对于d，平面abb1a1平面abcd，cd平面abb1a1，但cd平面abcd.5(2013北京西城一模)如图，正方体abcda1b1c1d1中，e是棱b1c1的中点，动点p在底面abcd内，且pa1a1e，则点p运动形成的图形是()a线段b圆弧c椭圆的一部分d抛物线的一部分解析：选b由pa1a1e知点p应落在以a1为球心，a1e长为半径的球面上又知动点p在底面abcd内，所以点p的轨迹是面abcd与球面形成的交线上，故为圆弧，所以选b.6.如图，在正方体abcda1b1c1d1中，m，n，p，q分别是aa1，a1d1，cc1，bc的中点，给出以下四个结论：a1cmn；a1c平面mnpq；a1c与pm相交；nc与pm异面其中不正确的结论是()a bc d解析：选b作出过m，n，p，q四点的截面交c1d1于点s，交ab于点r，如图中的六边形mnspqr，显然点a1，c分别位于这个平面的两侧，故a1c与平面mnpq一定相交，不可能平行，故结论不正确7.如图，在空间四边形abcd中，mab，nad，若，则直线mn与平面bdc的位置关系是_解析：由，得mnbd.而bd平面bdc，mn平面bdc，所以mn平面bdc.答案：平行8已知，是三个不重合的平面，a，b是两条不重合的直线，有下列三个条件：a，b；a，b；b，a.如果命题“a，b，且_，则ab”为真命题，则可以在横线处填入的条件是()a或 b或c或 d只有解析：选c由定理“一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面和此平面的交线与该直线平行”可得，横线处可填入条件或.9.(2013皖南八校联考)在如图所示的几何体中，四边形abcd是矩形，平面abcd平面abe，已知ab2，aebe，且当规定主(正)视图方向垂直于平面abcd时，该几何体的左(侧)视图的面积为.若m，n分别是线段de，ce上的动点，则ammnnb的最小值为_解析：由题意可得左视图是一个有一条直角边为的直角三角形，所以其面积为bc，解得bc1，所以dece2，dce是边长为2的等边三角形，aedbec30.将ade、dce、bce展开到同一平面上，在平面aeb中，aebe，aeb120，所以ab3，即ammnnb的最小值是3.答案：310(2013江苏高考)如图，在三棱锥sabc中，平面sab平面sbc，abbc，asab.过a作afsb，垂足为f，点e，g分别是棱sa，sc的中点求证：(1)平面efg平面abc；(2)bcsa.证明：(1)因为asab，afsb，垂足为f，所以f是sb的中点又因为e是sa的中点，所以efab.因为ef平面abc，ab平面abc，所以ef平面abc.同理eg平面abc.又efege，所以平面efg平面abc.(2)因为平面sab平面sbc，且交线为sb，又af平面sab，afsb，所以af平面sbc.因为bc平面sbc，所以afbc.又因为abbc，afaba，af，ab平面sab，所以bc平面sab.因为sa平面sab，所以bcsa.11(2013山西诊断考试)在如图所示的几何体中，正方形abcd和矩形abef所在的平面互相垂直，m为af的中点，bnce.(1)求证