高中数学 1222等差数列前n项和的性质精品课件同步导学 北师大版必修5.ppt

第二课时等差数列前n项和的性质 1 进一步了解等差数列的定义 通项公式以及前n项和公式 2 理解等差数列的性质 等差数列前n项和公式的性质应用 3 掌握等差数列前n项和之比问题 以及实际应用 1 对等差数列的通项公式 前n项和公式的考查是本课时的热点 2 常与函数 不等式结合命题 3 多以选择题和解答题的形式考查 3 若等差数列 an 的通项公式为an 2n 3 n n 且n 10 则a1 a3 a5 a7 a9 35 a2 a4 a6 a8 a10 45 结合等差数列的性质和前n项和公式 上面的问题可以有多种求法 若记s奇 a1 a3 a5 a7 a9 s偶 a2 a4 a6 a8 a10 则 s奇可以看作首项为a1 1 公差为4的等差数列的5项和 s偶则可看作首项为a2 1 公差为4的等差数列的5项和 1 当d 0 a1 0时 sn 它是n的函数 na1 一次 2 等差数列的前n项和的性质设 an 是公差为d的等差数列 则 1 sm s2m sm s3m s2m 也成等差数列 公差为 2 若等差数列的项数为2n 则s偶 s奇 s奇 s偶 m2d nd an an 1 1 数列 an 的前n项和sn 2n2 n n n 则数列 an 为 a 首项为1 公差为2的等差数列b 首项为3 公差为2的等差数列c 首项为3 公差为4的等差数列d 首项为5 公差为3的等差数列 答案 c 2 已知某等差数列共有10项 其奇数项之和为15 偶数项之和为30 则其公差为 a 5b 4c 3d 2解析 因为项数为偶数 所以s偶 s奇 5d 15 d 3 答案 c 3 在等差数列 an 中 若s2 2 s4 4 则a5 a6 解析 由于s2 s4 s2 s6 s4也成等差数列 且s2 2 s4 s2 2 故s6 s4 2 即a5 a6 2 答案 24 设等差数列 an 的前n项和为sn 若s9 72 则a2 a4 a9 解析 由等差数列的性质s9 9a5 72 a5 8 a2 a4 a9 a1 a5 a9 3a5 24 故填24 答案 24 一个等差数列的前10项之和为100 前100项之和为10 求前110项之和 本题既可以按照基本方法先求首项和公差 写出前n项和公式来求解 也可以利用等差数列的前n项和性质进行求解 题后感悟 本题解法较为灵活 方法一 二建立方程 组 计算属于通性通法 方法三 四 五直接应用性质简捷明快 起到事半功倍的效果 1 1 已知数列 an 是等差数列 前四项和为21 末四项和为67 且各项和为286 求项数 2 已知等差数列 an 的前n项和为sn 若sm 1 s3m 4 试求s6m 已知数列 an 为等差数列 其前12项和354 在前12项中 偶数项之和与奇数项之和的比为32 27 求这个数列的通项公式 利用等差数列前n项和公式列方程组求解或根据等差数列的奇数项依次成等差数列 偶数项依次成等差数列求解 解题过程 方法一 由等差数列的性质可知奇数项a1 a3 a5 a11与偶数项a2 a4 a6 a12仍然成等差数列 设 an 的首项为a1 公差为d 则 a1 2 an a1 n 1 d 5n 3 题后感悟 等差数列 an 中 a1 a3 a5 是首项为a1 公差为2d的等差数列 a2 a4 a6 是首项为a2 公差为2d的等差数列 当项数为2n时 s偶 s奇 nd 方法二中运用到了这些性质 策略点睛 题后感悟 方法一 二对条件和等差数列的性质及基本关系应用比较充分 从而方法比较简单 运算量较小 而方法三虽然稍显烦琐 但这是求有关比值问题的基本方法 即分子 分母用相同的参数表示出来 约去参数得到比值 一个水池有若干出水量相同的水龙头 如果所有水龙头同时放水 那么24min可注满水池 如果开始时全部放开 以后每隔相等的时间关闭一个水龙头 到最后一个水龙头关闭时 恰好注满水池 而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍 问最后关闭的这个水龙头放水多长时间 本题可用等差数列前n项和知识建立方程求解 解题过程 设共有n个水龙头 每个水龙头放水时间从小到大依次为x1 x2 xn 由已知可知x2 x1 x3 x2 xn xn 1 数列 xn 成等差数列 x1 xn 48 又 xn 5x1 6x1 48 x1 8 min xn 40 min 故最后关闭的水龙头放水40min 题后感悟 解决实际问题首先要审清题意 明确条件与问题之间的数量关系 然后建立相应的数学模型 通过解答数学问题实现实际问题的解决 常用的数学模型有函数 方程 不等式 数列 概念统计等 本题就是建立了等差数列的前n项和这一数学模型 以方程为工具解决问题的 4 从4月1日开始 有一新款服装投入某商场销售 4月1日该款服装售出10件 第二天售出25件 第三天售出40件 以后每天售出的件数分别递增15件 直到4月12号日销售量达到最大 然后 每天售出的件数分别递减10件 1 记从4月1日起该款服装日销售量为an 销售天数为n 1 n 30 求an与n的关系 2 求4月份该款服装的总销售量 3 按规律 当该商场销售此服装超过1200件时 社会上就开始流行 当此服装的销售量连续下降 且日销售量低于100件时 则此服装在社会上不再流行 试问 该款服装在社会上流行是否超过10天 说明理由 解析 1 设从4月1日起该款服装的日销售量构成数列 an 由题意知 数列a1 a2 a12