高中数学 3.3.3函数的最大(小)值与导数精品课件同步导学 新人教A版选修11.ppt

3 3 3函数的最大 小 值与导数 1 能够区分极值与最值两个不同的概念 2 会求闭区间上函数的最大值 最小值 其中多项式函数一般不超过三次 1 有关函数的最值问题 重点 2 最值常与函数的极值以及函数的值域等结合考查 3 最值与函数的极值 易混点 2010年春 中国西南五省遭遇特大旱灾 为确保农业生产用水 某市及时下拨资金建水塔和泵房 已知水塔为圆柱体 其上 下底的单位面积造价是侧面单位面积造价的a倍 当其容积为常量时 应如何设计水塔的尺寸能使总造价最低 1 函数f x 在闭区间 a b 上的最值如果在区间 a b 上函数y f x 的图象是一条连续不断的曲线 则该函数在 a b 上一定能够取得和 并且函数的最值必在极值点或区间端点取得 2 求函数y f x 在 a b 上的最值的步骤 1 求函数y f x 在 a b 内的 2 将函数y f x 的与f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 最小值 最大值 各极值 极值 端点处的函数值 答案 a 答案 d 3 已知a为实数 f x x2 4 x a 若f 1 0 函数f x 在 2 2 上的最大值为 最小值为 4 求函数f x x3 x2 x 1在 1 2 上的最大值和最小值 2 f x 4x3 4x 令f x 4x x 1 x 1 0 得x 1 x 0 x 1 当x变化时 f x 及f x 的变化情况如下表 当x 3时 f x 取最小值 60 当x 1或x 1时 f x 取最大值4 题后感悟 求一个函数在闭区间上的最值时 一般是找出该区间上导数为零的点 无需判断出是极大值点还是极小值点 只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较 其中最大的就是函数的最大值 最小的就是函数的最小值 1 求函数f x 4x3 3x2 36x 5在区间 2 2 上的最大值和最小值 规范作答 令f x 3x2 3ax 3x x a 0 得x1 0 x2 a 2分当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下表 5分 题后感悟 本题主要考查由函数的最值确定参数 解题的关键是利用函数的单调性确定某些极值就是函数的最值 同时由于系数a的符号对函数的单调性有直接的影响 其最值也受a的符号的影响 因此 需要进行分类讨论 本题是运用最值的定义 从逆向出发 由已知向未知转化 通过待定系数法 布列相应的方程 从而得出参数的值 2 已知函数f x 2x3 6x2 a在 2 2 上有最小值 37 求a的值并求f x 在 2 2 上的最大值 解析 f x 6x2 12x 6x x 2 由f x 0得x 0或x 2 当x变化时 f x f x 变化情况如下表 已知函数f x ax4lnx bx4 c x 0 在x 1处取得极值 3 c 其中a b c为常数 若对任意x 0 不等式f x 2c2恒成立 求c的取值范围 策略点睛 题后感悟 如何求解不等式恒成立的问题 有关恒成立问题 一般是转化为求函数的最值问题 求解时要确定这个函数 看哪一个变量的范围已知 即函数是以已知范围的变量为自变量的函数 一般地 f x 恒成立 f x max f x 恒成立 f x min 1 正确理解函数的极值与最值 1 函数的最大值和最小值是一个整体性概念 最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值 最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小值 2 函数的最大值 最小值是比较整个定义区间的函数值得出的 函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的 函数的极值可以有多个 但最大 小 值至多只能有一个 极值只能在区间内取得 最值则可以在端点取得 有极值的未必有最值 有最值的未必有极值 极值有可能成为最值 最值只要不在端点必定是极值 特别提醒 当连续函数f x 在开区间 a b 内只有一个导数为零的点时 若在这一点处f x 有极大值 或极小值 则可以判定f x 在该点处取到最大值 或最小值 这里 a b 也可以是无穷区间 2 函数f x 在闭区间 a b 上的最大值 最小值 1 设y f x 是定义在区间 a b 上的函数 y f x 在 a b 内有导数 求函数y f x 在 a b 上的最大值与最小值 可分两步进行 求y f x 在 a b 内的极值 将y f x 在各极值点的极值与f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 2 若函数f x 在 a b 上单调递增 则f a 为函数的最小值 f b 为函数的最大值 若函数f x 在 a b 上单调递减 则f a 为函数的最大值 f b 为函数的最小值 3 函数f x 在区间 a b 上的最值在区间 a b 上函数f x 的图象是一条连续的曲线时 f x 在 a b 内不一定有最值 常见的有以下几种情况 如图 图 1 中的函数y f x 在 a b 上有最大值而无最小值 图 2 中的函数y f x 在 a b 上有最小值而无最大值 图 3 中的函数y f x 在 a