【优化方案】高考数学总复习 第2章§2.1映射、函数及反函数精品课件 大纲人教版.ppt

2 1映射 函数及反函数 考点探究 挑战高考 考向瞭望 把脉高考 2 1映射 函数及反函数 双基研习 面对高考 双基研习 面对高考 1 映射 1 定义 设a b是两个集合 如果按照某种对应关系f 对于集合a中的任何一个元素 在集合b中都有 的元素和它对应 那么 这样的对应 包括集合a b 以及集合a到集合b的对应关系f 叫做集合a到集合b的 记作f a b 唯一 映射 2 象和原象 给定一个集合a到集合b的映射 且a a b b 如果元素a和元素b对应 那么 我们把元素b叫做元素a的 元素a叫做元素b的 2 函数 1 函数的定义设a b是非空的数集 如果按某个确定的对应关系f 使对于集合a中的 一个数x 在集合b中都有 确定的数f x 和它对应 那么就称f a b为从集合a到集合b的一个函数 记作y f x x a x的取值集合a叫做函数的 函数值的集合 f x x a 叫做函数的 象 原象 任意 唯一 定义域 值域 2 函数的三要素 和对应法则 3 函数的表示法表示函数的常用方法有 解析法 定义域 值域 列表法 图象法 3 反函数的定义设式子y f x 表示y是x的函数 定义域为a 值域为c 从式子y f x 中解出x 得到式子 如果对于y在c中的任何一个值 通过式子x y x在a中都有唯一确定的值和它对应 那么式子x y 就表示x是y的函数 这样的函数 叫做函数y f x 的反函数 记作x f 1 y 即x y f 1 y 一般对调x f 1 y 中的字母x y把它改写成 x y y f 1 x 4 反函数四个引申性质 f 1 b a c a 单调 相同 思考感悟1 映射f a b与映射f b a是同一个映射吗 提示 不一定 映射f a b必须满足 1 a中元素无剩余 且a中任何元素必须有象且唯一 2 b中元素可以有剩余 即b中元素不一定有原象 3 若集合a中有m个元素 集合b中有n个元素 则可构成映射f a b有nm个 映射f b a有mn个 2 映射与函数有什么区别 提示 映射不一定是函数 但函数一定是某一个映射 映射的两个集合可以是任意非空集合 函数的集合一定是非空数集 1 在映射f a b中 下列判断正确的是 a a中的元素a的象可能不只一个b a中的两个元素a1和a2的象必不同c b中的元素b的原象可能不只一个d b中的两个不同元素b1和b2的原象可能相同答案 c 答案 d 答案 d 答案 0 2 考点探究 挑战高考 映射是一种特殊的对应 判断对应是否为映射 关键有两点 一是a中元素必须都有象且唯一 二是b中元素不一定有原象 且a中不同的元素在b中可以有相同的象 一般地 一对一 多对一 的对应关系可构成映射 一对多 不是映射 设a 1 2 3 4 5 b 1 3 7 15 31 33 下列的对应法则f能构成从a到b的映射的是 a f x x2 x 1b f x x x 1 2c f x 2x 1 1d f x 2x 1 思路分析 根据映射定义 对于集合a中的任何元素 按照对应法则f 在集合b中是否有唯一的元素与它对应 解析 当x 4时 x2 x 1 21 b 当x 4时 x x 1 2 13 b 当x 1时 2x 1 1 20 1 0 b a b c都不构成从a到b的映射 对于d 经验证 x 1 2 3 4 5时2x 1的值分别为1 3 7 15 31 又映射并不要求b中的任何元素都有原象 应选d 领悟归纳 判断从a到b的映射 务必用a中的任何元素在b中找对应的象 切不可颠倒 此类问题有时是单独的一个小题 有时作为解答题的某一过程 但考查的都是常见函数的通法 待定系数法 换元法 消元法等 如果已知函数解析式的类型 可用待定系数法 已知复合函数的表达式时 可用换元法 这时要注意 元 的范围 当已知表达式比较简单时 也可以用配方法 若已知抽象的函数表达式 则常用解方程组 消元的方法求出解析式 思路分析 可用配凑法 可用换元法 可用方程组法 求反函数解析式的三步曲 一解 二换 三定义 所谓一解 即首先由给出的原函数的解析式y f x 反解出用y表示x的式子x f 1 y 二换 即将x f 1 y 中的x y两个字母互换 得到y f 1 x 即为所求的反函数 即先解后换 三定义 即求出反函数的定义域 即原函数的值域 参考本节教材例1及复习参考题b组7题 思路分析 求原函数值域 反解x 交换x y 得反函数 领悟归纳 本题求反函数的过程中 要注意开方时 是取 正 还是取 负 这种问题没有给出具体的函数解析式 只是借用抽象的函数意义 来转化其中的变量关系 往往结合恒等式或不等式转化为自变量的关系 思路探究 1 令x y 1再求解可得 2 中赋值时注意应用 1 的结论 3 用定义法确定f x 的单调性 从而转化为关于x的不等式求解 思维升华 本题是抽象函数问题 尽管题中没有给出具体的解析式 但我们仍可以通过不断地赋值去探索其特殊自变量的函数值 常用的赋值有 x y 0 x y 1 x 0 y 1 x y y x 当然具体在实际操作时的赋值还要根据题设的条件进一步确定取值情况 方法技巧1 若两个函数的对应关系一致 并且定义域相同 则两个函数为同一函数 如课前热身2 2 函数的三种表示方法 列表法 图象法和解析法 三者之间是可以互相转化的 求函数解析式比较常见的方法有代入法 换元法 待定系数法和解函数方程等 特别要注意将实际问题化归为函数问题 通过设自变量 写出函数的解析式并明确定义域 还应注意使用待定系数法时函数解析式的设法 如例2 3 分段函数的反函数仍是分段函数 要分段来求 一般地是把各分段上的函数看作独立函数 分别求出它们的反函数 然后再拼合到一起 求得的反函数一定要标明其定义域 如例3的 3 失误防范1 映射是一种特殊的集合之间的对应关系 只能是一对一 多对一 绝不是一对多 2 用换元法求函数解析式时 一定要注明新 元 的范围 如例2的 1 2 考向瞭望 把脉高考 高考中主要考查映射与函数的基本概念 例如求象 原象以及映射的个数等 映射的内容可与其它知识点结合 在高考中常以函数作为背景 结合不等式 方程 数列等知识 考查学生处理综合问题的能力 往往以综合题形式出现 分段函数在高考命题上以考查基本概念与基本计算为主 题型主要是选择题和填空题 也有的把定义一种新运算作为考查的目的 在2010年的高考中 大多数省市的高考题是与具体函数的性质结合起来考查 陕西文13题对分段函数及函数符号 f 0 的意义进行考查 从近两年的高考试题来看 对反函数的考查主要是认识反函数的定义 会求反函数 能用互为反函数的图象的对称关系解决问题 以选择题 填空题为主 考查基本知识 基本技能 解答题很少涉及 在2010年高考中 只有四川考题的22题 求反函数仅作为一小问 预测2012年的高考中 以分段函数求函数值 求具体函数的反函数 结合函数的奇偶性 极值等求函数解析式为主来考查 答案 d 探究溯源 此题与人教版 必修 第一册 上 复习参考题二的第15题中的求反函数有相似的一面 通过指数函数与对数函数之间的关系及运算求反函数 考查反函数的求法及其定义域与值域之间的关系 本题难度适中 易错的地方是在变形过程中 与 的变化 2 若定义在 2010 2010 上的函数f x 满足 对于任意x1 x2 2010 2010 有f x1 x2 f x1 f x2 2009 且x 0时 有f x 2009 f x 的最大值 最小值分别为m n 则m n的值为 a 2009b 2010c 4018d 4020 解析 选c 令x1 x2 0 则f 0 2009 又令x1 x x2 x 则f 0 f x f x 2009 2009 f x f x 2009 f x 2009 f x 2009 f x 2009为奇函数 函数f x 2009关于原点 0 0 对称 函数f x 关于 0 2009 对称 又设 2010 x10 f h 2009 则f x2 f x1 f h 2009 f x1 f x 是在 2010 2010 上的增函数 故m n f 2010 f 2010 2 2009 4018 答案 x 1 4 如图所示 已知四边形abc