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复习回顾 请同学们回忆一下等差数列的定义和什么是等差中项 定义 一般地 如果一个数列从第二项起 每一项与它的前一项的差都等于同一个常数 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等比数列的公差 公差通常用字母d表示 由三个数a a b组成的等差数列 a叫做a与b的等差中项 引例 如下图是某种细胞分裂的模型 细胞分裂个数可以组成下面的数列 1 2 4 8 16 引例 我国古代一些学者提出 一尺之棰 日取其半 万世不竭 用现代语言叙述为 一尺长的木棒 每日取其一半 永远也取不完 这样 每日剩下的部分都是前一日的一半 如果把 一尺之棰 看成单位 1 那么 得到的数列是 1 再来看两个数列 3 3 9 27 81 可以发现 4 1 1 2 4 8 16 2 1 类比等差数列项与项之间的关系 说说这四个数列它们都有什么共同特点 数列 1 从第2项起 每一项与它的前一项的比都等于 数列 2 从第2项起 每一项与它的前一项的比都等于2 数列 3 从第2项起 每一项与它的前一项的比都等于3 数列 4 从第2项起 每一项与它的前一项的比都等于 也就是说 这4个数列有一个共同的特点 从第2项起 每一项与它的前一项的比都等于一个常数 2 4 1等比数列 龙泉中学 讲课人 王莹 等比数列的定义 如果一个数列从第二项起 每一项与它的前一项的比都等于同一个常数 那么这个数列就叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的公比 公比通常用字母q表示 q 0 注意 1 等比数列中无零项 2 等比数列中qr且q0 3 既是等差数列又是等比数列的数列是非零常数列 等比数列的定义 2 或 1 思考 与 这两个式子有什么不同 1 1 2 4 8 16 2 1 3 3 9 27 81 4 q q 2 q 3 q 2 等比数列的通项公式 递推法 由此归纳等比数列的通项公式可得 等比数列 类比 2 等比数列的通项公式 叠加法 由此等比数列的通项公式可得 等比数列 类比 叠乘法 由此等差数列的通项公式可得 等比数列的通项公式 如果等比数列 an 的首项是a1 公比是q 那么根据等比数列的定义得到 等比数列的通项公式为 拓展 可得 等比数列 类比 等比数列的通项公式还可以写成 an a1qn 1 等比数列的通项公式 指数型的函数 q 1递增数列 0 q 1递减数列 q 0摆动数列 q 1时 是个什么数列呢 范例讲解 例1 一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18 求它的第1项和第2项 分析 设首项为a1 公比为q 则有 解得 所以a2 8 例2 已知等比数列 an 中 a5 20 a15 5 求a20 解 由a15 a5q10 得 所以 因此 或 小结 1 理解与掌握等比数列的定义及数学表达式
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