高考数学复习方案 第2单元第15讲 定积分与微积分基本定理课件 理 北师大版.ppt

第15讲 定积分与微积分基本定理 第15讲定积分与微积分基本定理 知识梳理 1 定积分的概念一般地 给定一个在区间 a b 上的函数y f x 其图像如图15 1所示 将 a b 区间分成n份 分点为 a x0 x1 x2 xn 1 xn b 第i个小区间为 xi 1 xi 设其长度为 xi 在这个小区间上取一点 i 使f i 在区间 xi 1 xi 上的值最大 设s f 1 x1 f 2 2 f i xi f n xn 在这个小区间上取一点 i 使f i 在区间 xi 1 xi 上的值最小 设s f 1 x1 f 2 x2 f i xi f n xn 第15讲 知识梳理 图15 1 如果每次分割后 最大的小区间的长度趋于0 s与s的差也趋于0 此时s与s同时趋于某一个固定的 容易验证 在每个小区间 xi 1 xi 上任取一点 i s f 1 x1 f 2 x2 f i xi f n xn的值也趋于该 我们称 是函数y f x 在区间 a b 上的 记作f x dx 即 其中 叫作积分号 a与b分别叫作积分的 与积分的 函数f x 叫作 第15讲 知识梳理 常数a 常数a a 定积分 下限 上限 被积函数 第15讲 知识梳理 y f x x a x b和x轴 b a f b f a 要点探究 探究点1利用微积分基本定理及定积分的性质求定积分 第15讲 要点探究 思路 利用微积分基本定理求定积分 就是求出被积函数的一个原函数 然后再计算在相应区间上的函数值的差即可 第15讲 要点探究 第15讲 要点探究 2 不等式0 2x 8 dx 0的解集为 答案 a 0 a 8 第15讲 要点探究 答案 3 第15讲 要点探究 点评 利用微积分基本定理求定积分 关键是求出被积函数的一个原函数 求一个函数的原函数与求一个函数的导数互为逆运算 因此要注意掌握一些常见函数的导数 在求稍微复杂的定积分时要注意被积函数的变形转化 把定积分融入方程或不等式已成为近几年考试的热点 探究点2利用定积分的几何意义求定积分 第15讲 要点探究 思路 画出被积函数的图像 求出对应图形的面积 由定积分的几何意义便可求出积分值 第15讲 要点探究 探究点3定积分在求图形面积和旋转体体积方面的应用 例3 1 求抛物线y2 2x与直线y x 4围成的平面图形的面积 第15讲 要点探究 思路 先画出已知函数的图像 求出抛物线与直线的交点 再利用积分求解 第15讲 要点探究 2 求由曲线y sinx在 0 段与x轴所围成的图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积v 思路 直接用旋转体的体积公式计算 第15讲 要点探究 点评 1 从上述两种解法中可以看出 对y积分比x积分计算简捷 但同时也要注意对y积分时 积分函数应为x m y 然后再根据定积分求解 因此对于求平面图形的面积问题 应首先画出平面图形的大概图形 然后根据图形特点 选择相应的积分变量及被积函数 并确定被积区间 2 利用积分研究旋转体的体积时 要注意旋转体相应的旋转曲线 旋转方向与旋转轴 探究点4定积分在物理方面的应用 第15讲 要点探究 例4 2010 福州模拟 一辆汽车的速度 时间曲线如图15 2所示 求该汽车在这一分钟内行驶的路程 图15 2 思路 本题考查定积分在物理中的应用 可以先根据图像求出速度关于时间的函数解析式 再利用定积分求出路程 第15讲 要点探究 第15讲 要点探究 点评 用定积分解决变速运动的位置与路程问题时 将物理问题转化为数学问题是关键 变速直线运动的速度函数往往是分段函数 故求积分时要利用积分的性质将其分成几段积分 然后求出积分的和 即可得到答案 由于函数是分段函数