【优化方案】高考数学一轮复习 第6章第一节 不等关系与一元二次不等式课件 文 苏教版.ppt

第一节不等关系与一元二次不等式 第一节不等关系与一元二次不等式 考点探究 挑战高考 考向瞭望 把脉高考 双基研习 面对高考 双基研习 面对高考 1 比较两实数大小的依据 2 不等式的性质 1 对称性或反身性 a b 2 传递性 a b b c b a a c b c a c b d ac bc ac bc an bn 0 3 一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系 x xx2 x x1 x x2 r 思考感悟一元二次函数f x ax2 bx c a 0 与x轴的交点为 x1 0 x2 0 x10的解集为 x1 x2 是否正确 提示 不正确 ax2 bx c 0的形式不一定是标准的 即a不一定为正的 因而解集的形式不能确定 答案 2 2011年南京质检 不等式3x2 7x 2 0的解集是 答案 64 不等式3x2 5x 4 0的解集为 答案 r 考点探究 挑战高考 不等式的性质是解决不等式相关问题的基础 常以考查不等式变形的条件为线索 强调数学的严谨性 对训练思维的谨密性起着非常重要的作用 很多问题可从是否等价上来入手解决 思路分析 对比不等式的性质 结合数的正 负 0等情况判断 名师点评 不等式的性质是研究与不等式有关问题的依据 我们可以理解为不等式的运算法则或影响不等号变与不变的依据 从平时的解题中 我们可以发现 数值的正 负 0对不等式的影响是最常见的三种情况 其次 不等式的乘 除 取平方 取绝对值 取倒数等时 不等式的方向往往要考虑变与不变 1 解一元二次不等式的一般步骤 1 对不等式变形 使一端为0且二次项系数大于0 即ax2 bx c 0 a 0 ax2 bx c0 2 计算相应的判别式 2 对于解含有参数的二次不等式时 讨论的顺序为 1 讨论二次项系数是否为0 这决定此不等式是否为二次不等式 2 当二次项系数不为0时 讨论判别式是否大于0 3 当判别式大于0时 讨论二次项系数是否大于0 这决定所求不等式的不等号的方向 4 判断二次不等式两根的大小 思路分析 首先将二次项系数转化为正数 再看二次三项式能否因式分解 若能 则可得方程的两根 若不能 则再看 利用求根公式求解方程的根 而后写出解集 3 小题中对a要分类讨论 名师点评 不等式若能进行因式分解 则可直接得出解集 有些不等式不能直观地看出能否进行因式分解时 可由判别式判断解集是哪种情况 再对应求解 对于含参问题 要对参数进行讨论 弄清讨论的原因 理清线索 以便确定讨论的步骤 一元二次不等式恒成立与相应函数结合可从图象上来理解 但应注意不等式的结构特征 在选择方法上可灵活处理 若处理恰当 则事半功倍 否则较为繁琐 一般的不等式恒成立可用以下转化方法 若不等式f x a在区间d上恒成立 则等价于在区间d上f x min a 若不等式f x b在区间d上恒成立 则等价于在区间d上f x max b 设函数f x mx2 mx 1 1 若对于一切实数x f x 0恒成立 求m的取值范围 2 若对于x 1 3 f x m 5恒成立 求m的取值范围 思路分析 本题 1 可讨论m的取值 利用判别式来解决 对于 2 含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题 常有两种处理方法 方法一是利用二次函数区间上的最值来处理 方法二是先分离出参数 再去求函数的最值来处理 一般情况下方法二比较简单 名师点评 1 解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量 谁是参数 一般地 知道谁的范围 谁就是变量 求谁的范围 谁就是参数 2 对于二次不等式恒成立问题 恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方 恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方 变式训练2不等式 m 2 x2 2 m 2 x 4 0对一切实数x都成立 求实数m的取值范围 1 实际应用问题是新课标下考查的重点 突出了应用能力的考查 在不等式应用题中常以函数模型出现 如一元二次不等式应用题常以二次函数为模型 解题时要理清题意 准确找出其中不等关系再利用不等式解法求解 2 不等式应用题一般可按如下四步进行 1 阅读理解 认真审题 把握问题中的关键量 找准不等关系 2 引进数学符号 用不等式表示不等关系 3 解不等式 4 回归实际问题 思路分析 用所给出的已知量表示出定价 卖出数量 售货总金额 列出关系式 名师点评 把实际问题中的不等式关系理清 从而建立起目标不等式是这类问题成功解决的关键 变式训练3某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为1万元 辆 出厂价为1 2万元 辆 年销售量为1000辆 本年度为适应市场需求 计划提高产品质量 适度增加投入成本 若每辆车投入成本增加的比例为x 0 x 1 则出厂价相应地提高比例为0 75x 同时预计年销售量增加的比例为0 6x 已知年利润 出厂价 投本 销售 1 写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式 2 为使本年度的年利润比上年度的有所增加 则投入成本增加的比例x应在什么范围内 解 1 由题意得y 1 2 1 0 75x 1 1 x 1000 1 0 6x 0 x 1 整理得y 60 x2 20 x 200 0 x 1 方法技巧1 比较不等式大小的常用方法 1 作差 作差后通过分解因式 配方等手段判断差的符号得出结果 2 作商 常用于分数指数幂的代数式 3 分析法 4 平方法 5 分子 或分母 有理化 6 利用函数的单调性 7 寻找中间量或放缩法 8 图象法 其中比较法 作差 作商 是最基本的方法 2 对于不等式的性质 关键是正确理解和运用 要弄清每一个性质的条件和结论 注意条件的加强或减弱 条件与结论之间的相互联系 3 不等式的性质应用于证明不等式 往往是从条件推出结论的变换关系 而解不等式则要求等价变形 4 解不等式的核心问题是不等式的同解变形 是将复杂的 生疏的不等式问题转化为简单的 熟悉的最简不等式问题 不等式的性质则是不等式变形的理论依据 方程的根 函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关 要善于把它们有机地联系起来 互相转化 5 一元一次不等式 组 和一元二次不等式 组 的解法是不等式的基础 因为很多不等式的求解最终都是转化为一元一次不等式 组 和一元二次不等式 组 进行的 不等式ax2 bx c 0 ax2 bx c 0的解集就是使二次函数y ax2 bx c a 0 的函数值大于0或小于0时的x的取值范围 应结合一元二次函数图象去理解一元二次不等式的解集 解集的端点即为相应方程的实根 也即相应函数的零点 一元二次不等式若不易进行因式分解 则应计算判别式 根据判别式的情况说明 6 解含参数的不等式时 必须注意参数的取值范围 并在此范围内对参数进行分类讨论 分类的标准是通过理解题意 例如能根据题意挖掘出题目的隐含条件 根据方法 例如利用单调性解题时 抓住使单调性发生变化的参数值 按照解答的需要 例如进行不等式变形时 必须具备的变形条件 等方面来决定 一般都应做到不重复 不遗漏 失误防范 4 解不等式时 易在没有变成标准不等式类型前 就去解不等式 使结果出错 5 解不等式的过程中 经常要去分母 去绝对值符号等 往往忽略限制条件和变量取值范围的改变 对分步或分类求出的结果 何时求交集 何时求并集很容易犯错 解题时要细心谨慎 考向瞭望 把脉高考 不等式的解法是江苏每年高考的必考内容 特别是一元二次不等式 它与一元二次方程 二次函数相联系 三者构成一个统一的整体 贯穿于高中数学的始终 通过分析近几年高考试题可以看出 解不等式的题目 有时会单独出现在填空题中 以求定义域或考查集合间关系或直接求解不等式的形式出现 难度不大 属于中 低档题 预测2012年江苏高考仍将以解一元二次不等式 含参数的一元二次不等式的求解为主要考查点 名师点评 一元二次不等式常与其他知识如函数 解三角形 向量等结合命题 通过知识的转化 使解一元二次不等式成为题中的一个考查的环节 因而在此类题目中 需分析清楚题目的设计意图 涉及哪方面的知识 不能单纯地认为只是一个解不等式的问题 1 已知全集u r 集合a x x20 则a ub 等于 2 在r上定义运算 x y x 1 y 若不等式 x a x a 1对任意实数x都成立 则实数a的取值范围是 解析 根据定义运算 x y x 1 y 得 x a x a x a 1 x a x a 1 x a x2 x a2 a 答案 3 1 0 4 国家原计划以2400元