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1 3 2函数的奇偶性 观察下图 思考并讨论以下问题 1 这两个函数图象有什么共同特征吗 2 相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的 f 3 9 f 3 f 2 4 f 2 f 1 1 f 1 f 3 3 f 3 f 2 2 f 2 f 1 1 f 1 实际上 对于r内任意的一个x 都有f x x 2 x2 f x 这时我们称函数y x2为偶函数 1 偶函数 一般地 对于函数f x 的定义域内的任意一个x 都有f x f x 那么f x 就叫做偶函数 例如 函数都是偶函数 它们的图象分别如下图 1 2 所示 观察函数f x x和f x 1 x的图象 下图 你能发现两个函数图象有什么共同特征吗 f 3 3 f 3 f 2 2 f 2 f 1 1 f 1 实际上 对于r内任意的一个x 都有f x x f x 这时我们称函数y x为奇函数 f 3 1 3 f 3 f 2 1 2 f 2 f 1 1 f 1 2 奇函数 一般地 对于函数f x 的定义域内的任意一个x 都有f x f x 那么f x 就叫做奇函数 注意 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性 函数的奇偶性是函数的整体性质 2 由函数的奇偶性定义可知 函数具有奇偶性的一个必要条件是 对于定义域内的任意一个x 则 x也一定是定义域内的一个自变量 即定义域关于原点对称 3 奇 偶函数定义的逆命题也成立 即若f x 为奇函数 则f x f x 有成立 若f x 为偶函数 则f x f x 有成立 4 如果一个函数f x 是奇函数或偶函数 那么我们就说函数f x 具有奇偶性 例5 判断下列函数的奇偶性 1 解 定义域为r f x x 4 f x 即f x f x f x 偶函数 2 解 定义域为rf x x 5 x5 f x 即f x f x f x 奇函数 3 解 定义域为 x x 0 f x x 1 x f x 即f x f x f x 奇函数 4 解 定义域为 x x 0 f x 1 x 2 f x 即f x f x f x 偶函数 3 用定义判断函数奇偶性的步骤 1 先求定义域 看是否关于原点对称 2 再判断f x f x 或f x f x 是否恒成立 课堂练习 判断下列函数的奇偶性 3 奇偶函数图象的性质 1 奇函数的图象关于原点对称 反过来 如果一个函数的图象关于原点对称 那么就称这个函数为奇函数 2 偶函数的图象关于y轴对称 反过来 如果一个函数的图象关于y轴对称 那么就称这个函数为偶函数 说明 奇偶函数图象的性质可用于 a 简化函数图象的画法 b 判断函数的奇偶性 例3 已知函数y f x 是偶函数 它在y轴右边的图象如下图 画出在y轴左边的图象 解 画法略 本课小结 1 两个定义 对于f x 定义域内的任意一个x 如果都有f x f x f x 为奇函数如果
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