（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 8.7 立体几何中的向量方法教师用书.doc

（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 8.7 立体几何中的向量方法教师用书1直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为2用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2(或l1与l2重合)v1v2.(2)设直线l的方向向量为v，与平面共面的两个不共线向量v1和v2，则l或l存在两个实数x，y，使vxv1yv2.(3)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则l或lvu.(4)设平面和的法向量分别为u1，u2，则u1 u2.3用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2v1v2v1v20.(2)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则lvu.(3)设平面和的法向量分别为u1和u2，则u1u2u1u20.4两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角a与b的夹角范围(0，0，求法cos cos 5.直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，a与n的夹角为，则sin |cos |.6求二面角的大小(1)如图，ab，cd分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，(2)如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos |cosn1，n2|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面的单位法向量是唯一确定的()(2)若两平面的法向量平行，则两平面平行()(3)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行()(4)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角()(5)两异面直线夹角的范围是(0，直线与平面所成角的范围是0，二面角的范围是0，()(6)若二面角a的两个半平面，的法向量n1，n2所成角为，则二面角a的大小是.()1已知a(1,0,0)，b(0,1,0)，c(0,0,1)，则下列向量是平面abc法向量的是()a(1,1,1) b(1，1,1)c(，) d(，)答案c解析设n(x，y，z)为平面abc的法向量，则化简得xyz.故选c.2(2016杭州模拟)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱abca1b1c1，cacc12cb，则直线bc1与直线ab1所成角的余弦值为()a. b.c. d.答案a解析设ca2，则c(0,0,0)，a(2,0,0)，b(0,0,1)，c1(0,2,0)，b1(0,2,1)，可得向量(2,2,1)，(0,2，1)，由向量的夹角公式得cos，故选a.3(教材改编)设u，v分别是平面，的法向量，u(2,2,5)，当v(3，2,2)时，与的位置关系为_；当v(4，4，10)时，与的位置关系为_答案解析当v(3，2,2)时，uv(2,2,5)(3，2,2)0.当v(4，4，10)时，v2u.4(教材改编)如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，o是底面正方形abcd的中心，m是d1d的中点，n是a1b1的中点，则直线on，am的位置关系是_答案垂直解析以a为原点，分别以，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则a(0,0,0)，m(0,1，)，o(，0)，n(，0,1)，(0,1，)(0，1)0，on与am垂直题型一利用空间向量证明平行问题例1(2016重庆模拟)如图所示，平面pad平面abcd，abcd为正方形，pad是直角三角形，且paad2，e，f，g分别是线段pa，pd，cd的中点求证：pb平面efg.证明平面pad平面abcd，abcd为正方形，pad是直角三角形，且paad，ab，ap，ad两两垂直，以a为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系axyz，则a(0,0,0)，b(2，0,0)，c(2,2,0)，d(0,2,0)，p(0，0,2)，e(0,0,1)，f(0,1,1)，g(1，2,0)(2,0，2)，(0，1,0)，(1,1，1)，设st，即(2,0，2)s(0，1,0)t(1,1，1)，解得st2，22，又与不共线，与共面pb平面efg，pb平面efg.引申探究本例中条件不变，证明平面efg平面pbc.证明(0,1,0)，(0,2,0)，2，bcef.又ef平面pbc，bc平面pbc，ef平面pbc，同理可证gfpc，从而得出gf平面pbc.又efgff，ef平面efg，gf平面efg，平面efg平面pbc.思维升华(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可这样就把几何的证明问题转化为向量运算(2016北京海淀区模拟)正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别是c1c，b1c1的中点求证：mn平面a1bd.证明如图所示，以d为坐标原点，da，dc，dd1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1，则m(0,1，)，n(，1,1)，d(0,0,0)，a1(1,0,1)，b(1,1,0)，于是(，0，)，(1,0,1)，(1,1,0)设平面a1bd的法向量为n(x，y，z)，则n0，且n0，得取x1，得y1，z1.所以n(1，1，1)又n(，0，)(1，1，1)0，所以n.又mn平面a1bd，所以mn平面a1bd.题型二利用空间向量证明垂直问题例2(2016绍兴模拟)如图，在多面体abca1b1c1中，四边形a1abb1是正方形，abac，bcab，b1c1綊bc，二面角a1abc是直二面角求证：(1)a1b1平面aa1c；(2)ab1平面a1c1c.证明(1)二面角a1abc是直二面角，四边形a1abb1为正方形，aa1平面bac.又abac，bcab，cab90，即caab，ab，ac，aa1两两互相垂直建立如图所示的空间直角坐标系，点a为坐标原点， 设ab2，则a(0,0,0)，b1(0,2,2)，a1(0,0,2)，c(2,0,0)，c1(1,1,2)，(0,2,0)，(0,0，2)，(2,0,0)设平面aa1c的一个法向量n(x，y，z)，则即即取y1，则n(0,1,0)2n，即n.a1b1平面aa1c.(2)易知(0,2,2)，(1,1,0)，(2,0，2)，设平面a1c1c的一个法向量m(x1，y1，z1)，则即令x11，则y11，z11，即m(1，1,1)m012(1)210，m.又ab1平面a1c1c，ab1平面a1c1c.思维升华证明垂直问题的方法(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算其中灵活建系是解题的关键(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然 ，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：证明两平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可(2016宁波模拟)如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是边长为a的正方形，侧面pad底面abcd，且papdad，设e，f分别为pc，bd的中点(1)求证：ef平面pad；(2)求证：平面pab平面pdc.证明(1)如图，取ad的中点o，连接op，of.因为papd，所以poad.因为侧面pad底面abcd，平面pad平面abcdad，所以po平面abcd.又o，f分别为ad，bd的中点，所以ofab.又abcd是正方形，所以ofad.因为papdad，所以papd，opoa.以o为原点，oa，of，op所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则a(，0,0)，f(0，0)，d(，0,0)，p(0,0，)，b(，a,0)，c(，a,0)因为e为pc的中点，所以e(，)易知平面pad的一个法向量为(0，0)，因为(，0，)，且(0，0)(，0，)0，所以ofef，又因为ef平面pad，所以ef平面pad.(2)因为(，0，)，(0，a,0)，所以(，0，)(0，a,0)0，所以pacd.又papd，pdcdd，pd平面pdc，cd平面pdc，所以pa平面pdc.又pa平面pab，所以平面pab平面pdc.题型三利用空间向量求空间角命题点1求直线和平面所成的角例3(2016杭州二中月考)如图1，在rtacb中，c90，bc3，ac6，d，e分别是ac，ab上的点，且debc，de2，将ade沿de折起到a1de的位置，使a1ccd，如图2.(1)求证：a1c平面bcde；(2)若m是a1d上的点，试确定点m的位置，使得直线cm与平面a1be所成角的正弦值为.(1)证明因为c90，debc，所以bccd，bca1d，因为cda1dd，cd平面a1cd，a1d平面a1cd，所以bc平面a1cd，因为a1c平面a1cd，所以bca1c，dea1c，又a1ccd，cdbcc，cdded，debc，所以a1c平面bcde.(2)解以c为原点，以cb，cd，ca1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，因为，所以ad4，cd2，a1c2，所以a1(0,0,2)，b(3,0,0)，e(2,2,0)，d(0,2,0)，(2,2，2)，(1,2,0)，(0，2,2)设m点的坐标为(0，y0，z0)，则所以(0,22，2)，设平面a1be的一个法向量n(x，y，z)，则即令x2，则y1，z，即n(2,1，)设直线cm与平面a1be所成角为，则sin ，即，解得或，所以m为线段a1d(靠近点a1)四分之一处的点或三分之二处的点命题点2求二面角例4已知点e，f分别在正方体abcda1b1c1d1的棱bb1，cc1上，且b1e2eb，cf2fc1，则平面aef与平面abcd所成的二面角的正切值为_答案解析如图，建立空间直角坐标系dxyz，设da1，由已知条件得a(1,0,0)，e(1,1，)，f(0,1，)，(0,1，)，(1,1，)，设平面aef的法向量为n(x，y，z)，平面aef与平面abcd所成的二面角为，由图知为锐角，由得令y1，则z3，x1，即n(1,1，3)，取平面abcd的法向量为m(0,0，1)，则cos |cosn，m|，tan .思维升华利用向量法求空间角的方法(1)先求出直线的方向向量和平面的法向量，将求空间角转化为求两个向量的夹角(2)利用数量积求向量的夹角，然后根据和所求角的关系得到空间角，但要注意所求角的大小(2016全国丙卷)如图，四棱锥p-abcd中，pa底面abcd，adbc，abadac3，pabc4，m为线段ad上一点，am2md，n为pc的中点(1)证明mn平面pab；(2)求直线an与平面pmn所成角的正弦值(1)证明由已知得amad2.取bp的中点t，连接at，tn，由n为pc中点知tnbc，tnbc2.又adbc，故tn綊am，四边形amnt为平行四边形，于是mnat.因为at平面pab，mn平面pab，所以mn平面pab.(2)解取bc的中点e，连接ae.由abac得aebc，从而aead，ae.以a为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系axyz.由题意知，p(0,0,4)，m(0,2,0)，c(，2,0)，n，(0,2，4)，.设n(x，y，z)为平面pmn的法向量，则即可取n(0,2,1)于是|cosn，|.设an与平面pmn所成的角为，则sin ，直线an与平面pmn所成角的正弦值为.21利用向量法解决立体几何问题典例(14分)(2016吉林实验中学月考)如图1所示，正abc的边长为4，cd是ab边上的高，e，f分别是ac和bc边的中点，现将abc沿cd翻折成直二面角adcb，如图2所示(1)试判断直线ab与平面def的位置关系，并说明理由；(2)求二面角edfc的余弦值；(3)在线段bc上是否存在一点p，使apde？证明你的结论思想方法指导对于较复杂的立体几何问题可采用向量法(1)用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想(2)两种思路：选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断建立空间直角坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题规范解答解(1)ab平面def，理由如下：在abc中，由e，f分别是ac，bc中点，得efab.又ab平面def，ef平面def，ab平面def.2分(2)以d为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则a(0,0,2)，b(2,0,0)，c(0,2，0)，e(0，1)，f(1，0)，3分易知平面cdf的法向量为(0,0,2)，设平面edf的法向量为n(x，y，z)，则即取n(3，3)，cos，n，二面角edfc的余弦值为.8分(3)设p(x，y,0)，则y20，y.又(x2，y,0)，(x,2y,0)，(x2)(2y)xy，xy2.10分把y代入上式得x，p(，0)，在线段bc上存在点p(，0)，使apde.14分1(2017西安质检)若平面，的法向量分别是n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，则()a bc，相交但不垂直 d以上答案均不正确答案c解析n1n22(3)(3)15(4)0，n1与n2不垂直，且不共线与相交但不垂直2已知平面内有一点m(1，1,2)，平面的一个法向量为n(6，3,6)，则下列点p中，在平面内的是()ap(2,3,3) bp(2,0,1)cp(4,4,0) dp(3，3,4)答案a解析逐一验证法，对于选项a，(1,4,1)，n61260，n，点p在平面内，同理可验证其他三个点不在平面内3若，则直线ab与平面cde的位置关系是()a相交 b平行c在平面内 d平行或在平面内答案d解析，、共面，ab与平面cde平行或在平面cde内4设u(2,2，t)，v(6，4,4)分别是平面，的法向量若，则t等于()a3 b4 c5 d6答案c解析，则uv262(4)4t0，t5.5(2016泰安模拟)如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，棱长为a，m，n分别为a1b和ac上的点，a1man，则mn与平面bb1c1c的位置关系是()a斜交 b平行c垂直 dmn在平面bb1c1c内答案b解析建立如图所示的空间直角坐标系，由于a1man，则m(a，)，n(，a)，(，0，)又c1d1平面bb1c1c，所以(0，a,0)为平面bb1c1c的一个法向量因为0，所以，又mn平面bb1c1c，所以mn平面bb1c1c.6在正方体abcda1b1c1d1中，点e为bb1的中点，则平面a1ed与平面abcd所成的锐二面角的余弦值为()a. b. c. d.答案b解析以a为原点建立如图所示的空间直角坐标系axyz，设棱长为1，则a1(0,0,1)，e(1,0，)，d(0,1,0)，(0,1，1)，(1,0，)设平面a1ed的一个法向量为n1(1，y，z)，则有即即n1(1,2,2)平面abcd的一个法向量为n2(0,0,1)，cosn1，n2，即所成的锐二面角的余弦值为.7(2016广州质检)已知平面内的三点a(0,0,1)，b(0,1,0)，c(1,0,0)，平面的一个法向量n(1，1，1)，则不重合的两个平面与的位置关系是_答案解析设平面的法向量为m(x，y，z)，由m0，得x0yz0yz，由m0，得xz0xz，取x1，m(1,1,1)，mn，mn，.8(2016潍坊模拟)已知点p是平行四边形abcd所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：apab；apad；是平面abcd的法向量；.其中正确的是_答案解析0，0，abap，adap，则正确又与不平行，是平面abcd的法向量，则正确(2,3,4)，(1,2，1)，与不平行，故错误9.如图，正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为1，e，f分别是棱bc，dd1上的点，如果b1e平面abf，则ce与df的和的值为_答案1解析以d1为原点，d1a1，d1c1，d1d所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设cex，dfy，则易知e(x,1,1)，b1(1,1,0)，f(0,0,1y)，b(1,1,1)，(x1,0,1)，(1,1，y)，b1e平面abf，(1,1，y)(x1，0,1)0xy1.*10.如图，圆锥的轴截面sab是边长为2的等边三角形，o为底面中心，m为so中点，动点p在圆锥底面内(包括圆周)若ammp，则点p形成的轨迹长度为_答案解析由题意可知，建立空间直角坐标系，如图所示则a(0，1,0)，b(0,1,0)，s(0,0，)，m(0,0，)，设p(x，y,0)，(0,1，)，(x，y，)，即y，点p的轨迹方程为y.根据圆的弦长公式，可得点p形成的轨迹长度为2 .11(2016泉州模拟)如图所示，已知直三棱柱abca1b1c1中，abc为等腰直角三角形，bac90，且abaa1，d，e，f分别为b1a，c1c，bc的中点求证：(1)de平面abc；(2)b1f平面aef.证明(1)以a为坐标原点，ab，ac，aa1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系axyz，令abaa14，则a(0,0,0)，e(0,4,2)，f(2,2,0)，b(4,0,0)，b1(4,0,4)取ab中点为n，连接cn，则n(2,0,0)，c(0,4,0)，d(2,0,2)，(2,4,0)，(2,4,0)，denc，又nc平面abc，de平面abc.故de平面abc.(2)(2,2，4)，(2，2，2)，(2,2,0)(2)22(2)(4)(2)0，(2)222(4)00.，即b1fef，b1faf，又afeff，af平面aef，ef平面aef，b1f平面aef.12(2016杭州模拟)在平面四边形abcd中，abbdcd1，abbd，cdbd.将abd沿bd折起，使得平面abd平面bcd，如图所示(1)求证：abcd；(2)若m为a