高考数学一轮复习 7.7 立体几何中的向量方法精品课件 理 新人教A版.ppt

第七节立体几何中的向量方法 1 理解直线的方向向量与平面的法向量 2 能用向量语言表述直线与直线 直线与平面 平面与平面的垂直 平行关系 3 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理 包括三垂线定理 4 能用向量方法解决直线与直线 直线与平面 平面与平面的夹角的计算问题 了解向量方法在研究立体几何问题中的应用 一 平面的法向量1 所谓平面的法向量 就是指所在的直线与的向量 显然一个平面的法向量有多个 它们是向量 2 在空间中 给定一个点a和一个向量a 那么以向量a为法向量且经过点a的平面是 平面垂直 无数 共线 唯一的 二 利用向量求空间角1 求两条异面直线所成的角设a b分别是两异面直线l1 l2的方向向量 则 2 求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a 平面 的法向量为n 直线l与平面 所成的角为 则sin 3 求二面角的大小 1 若ab cd分别是二面角 l 的两个面内与棱l垂直的异面直线 则二面角的大小就是的夹角 如下图 cos a n 2 设n1 n2分别是二面角 l 的两个面 的法向量 则向量n1与n2的夹角 或其补角 的大小就是 如上图 二面角的 平面角的大小 1 已知点a 3 1 4 则点a关于原点的对称点坐标为 a 1 3 4 b 4 1 3 c 3 1 4 d 4 1 3 答案 c 答案 c 4 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量 在平面直角坐标系中 利用求动点轨迹方程的方法 可以求出过点a 2 1 且法向量为n 1 2 的直线 点法式 方程为 x 2 2 y 1 0 化简后得x 2y 0 类比以上求法 在空间直角坐标系中 经过点a 2 1 3 且法向量n 1 2 1 的平面 点法式 方程为 请写出化简后的结果 答案 x 2y z 3 0 5 如下图 已知三棱锥a bcd中 a 1 0 0 b 0 1 0 c 4 0 0 d 0 0 2 则该三棱锥的高为 热点之一利用空间向量证明平行 垂直问题1 证线线平行与垂直若直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2 则 1 l1 l2 v1 v2 2 l1 l2 v1 v2 v1 v2 0 2 证线面平行与垂直若直线l的方向向量为v 平面 的法向量为n 则 1 l v n 2 l v n 3 证面面平行与垂直若平面 和 的法向量分别为n1 n2 则 1 n1 n2 2 n1 n2 例1 如下图 已知直三棱柱abc a1b1c1中 abc为等腰直角三角形 bac 90 且ab aa1 d e f分别为b1a c1c bc的中点 1 求证 de 平面abc 2 求证 b1f 平面aef 思路探究 可利用线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理 也可用向量法建立空间直角坐标系 用向量的坐标运算来解决 课堂记录 如下图建立空间直角坐标系a xyz 令ab aa1 4 则a 0 0 0 e 0 4 2 f 2 2 0 b 4 0 0 b1 4 0 4 又 af fe f b1f 平面aef 即时训练如下图 在直三棱柱abc a1b1c1中 ac 3 bc 4 ab 5 aa1 4 点d是ab的中点 1 求证 ac bc1 2 求证 ac1 平面cdb1 证明 直三棱柱abc a1b1c1底面三边长ac 3 bc 4 ab 5 且c1c垂直底面 ac bc c1c两两垂直 如下图 以c为坐标原点 直线ca cb cc1分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 热点之二利用空间向量求异面直线所成的角 二面角1 求异面直线所成角时注意的问题利用向量的夹角来求异面直线的夹角时 注意区别 当异面直线的向量的夹角为锐角或直角时 就是该异面直线的夹角 当异面直线的向量的夹角为钝角时 其补角才是异面直线的夹角 2 利用向量法求线面角的方法 一是分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量 转化为求两个方向向量的夹角 或其补角 二是通过平面的法向量来求 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角 取其余角就是斜线和平面所成的角 思路探究 1 利用所建坐标系 准确写出所需点的坐标代入夹角公式 2 先求面sab的一个法向量 代入夹角公式 注意所求角与此夹角的关系 即时训练 热点之三利用空间向量求二面角利用空间向量方法求二面角 可以有两种办法 一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量 则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小 二是通过平面的法向量来求 设二面角的两个面的法向量分别为n1和n2 则二面角的大小等于 n1 n2 或 n1 n2 注意 利用空间向量方法求二面角时 注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角 即时训练 解 1 pa ad m为 pad的边pd的中点 am pd 又 pa 平面abcd pa cd 又 cd ad ad pa a cd 平面pad cd am am 平面pcd 平面amn 平面pcd 利用空间向量解决空间中线面位置关系的论证 空间中各种角的求解问题 以代数运算代替复杂的空间的想象 给解决立体几何问题带来了鲜活的方法 另外 空间向量还可以用来解决许多探索性问题 这类问题具有一定的思维深度 更能考查学生的能力 因此正逐渐成为高考命题的热点题型 例4 2010 福建高考 如右图 圆柱oo1内有一个三棱柱abc a1b1c1 三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形 且ab是圆o的直径 1 证明 平面a1acc1 平面b1bcc1 2 设ab aa1 在圆柱oo1内随机选取一点 记该点取自于三棱柱abc a1b1c1内的概率为p 当点c在圆周上运动时 求p的最大值 记平面a1acc1与平面b1oc所成的角为 0 90 当p取最大值时 求cos 的值 解 1 a1a 平面abc bc 平面abc a1a bc ab是圆o的直径 bc ac 又ac a1a a bc 平面a1acc1 而bc 平面b1bcc1 所以平面a1acc1 平面b1bcc1 由 可知 p取最大值时 oc ab 于是 以o为坐标原点 建立空间直角坐标系o xyz 如上图 则c r 0