【优化方案】高中数学 第1章1.2.3第二课时面面垂直课件 新人教B版必修2.ppt

第二课时面面垂直 1 理解面面垂直的定义 并能画出面面垂直的图形 2 掌握面面垂直的判定定理及性质定理 并能进行空间垂直的相互转化 3 掌握面面垂直的证明方法 并能在几何体中应用 课堂互动讲练 知能优化训练 第二课时 课前自主学案 课前自主学案 直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条 直线垂直 那么这条直线就垂直于这个平面 相交 1 两个平面垂直的定义如果两个相交平面的 垂直 又这两个平面与第三个平面相交所得的 互相垂直 则称这两个平面互相垂直 如 平面 互相垂直 记作 两个平面互相垂直是 的特殊情形 画两个互相垂直的平面 把直立平面的 画成和水平面的 垂直 如图 1 和图 2 平面 和平面 垂直 记作 交线与第三个平面 两条交线 两个平面相交 竖边 横边 2 两个平面垂直的判定定理如果一个平面 那么这两个平面互相垂直 经过另一个平面的一条垂线 已知 l 作直线m 使m l 则m 吗 提示 不一定 当m 时 m一定垂直 如m 则m与 的关系不确定 思考感悟 3 两个平面垂直的性质 1 两个平面垂直的性质定理 如果两个平面垂直 那么 的直线垂直于另一个平面 2 如果两个平面互相垂直 那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线 在一个平面内垂直于它们交线 在第一个平面内 课堂互动讲练 用判定定理或定义法来证明面面垂直 如图 在三棱锥v abc中 vc 底面abc ac bc d是ab的中点 且ac bc a 求证 平面vab 平面vcd 分析 欲证平面vab 平面vcd 需证ab 平面vcd 为此需证vc ab且cd ab 证明 因为ac bc 所以 abc是等腰三角形 又d是ab的中点 所以cd ab 又vc 底面abc ab 底面abc 所以vc ab 因为cd vc c cd 平面vcd vc 平面vcd 所以ab 平面vcd 又ab 平面vab 所以平面vab 平面vcd 点评 证明面面垂直需根据面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直 进而转化为证明线线垂直 此外还可用定义法 即两平面相交 若所成的二面角是直二面角 则这两个平面互相垂直 线线垂直 线面垂直 面面垂直三者进行转化 如图所示 p是四边形abcd所在平面外的一点 abcd是 dab 60 且边长为a的菱形 侧面pad为正三角形 其所在平面垂直于底面abcd 1 若g为ad边的中点 求证 bg 平面pad 2 求证 ad pb 分析 利用面面垂直证明线面垂直 关键在于证明该直线与交线垂直 即证bg ad 2 证明线线垂直可转化为线面垂直 即证ad 平面pbg 证明 1 连接pg bd 由题知 pad为正三角形 g是ad的中点 pg ad 又平面pad 平面abcd pg 平面abcd pg bg 又 四边形abcd是菱形且 dab 60 abd为正三角形 bg ad 又ad pg g bg 平面pad 2 由 1 可知bg ad pg ad 所以ad 平面pbg 所以ad pb 点评 证明线面垂直 除利用定义和判定定理外 另一种重要的方法是利用面面垂直的性质定理证明 应用时应注意 1 两平面垂直 2 直线必须在一个平面内 3 直线垂直于交线 跟踪训练2已知平面pab 平面abc 平面pac 平面abc ae 平面pbc e点为垂足 1 求证 pa 平面abc 2 当e为 pbc的垂心时 求证 abc是直角三角形 证明 1 在 abc内取一点d 作df ac于点f 因为平面pac 平面abc 且交线为ac 所以df 平面pac 又pa 平面pac 所以df ap 作dg ab于点g 同理可证dg ap 因为dg df都在平面abc内 且dg df d 所以pa 平面abc 2 连接be并延长 交pc于点h 因为e是 pbc的垂心 所以pc be 又已知ae是平面pbc的垂线 所以pc ae 又be ae e 所以pc 平面abe 因为ab 平面abe 所以pc ab 又因为pa 平面abc ab 平面abc 所以pa ab 又pc pa p 所以ab 平面pac 又ac 平面pac 所以ab ac 即 abc是直角三角形 利用线线 线面 面面垂直的相互转化 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 e f分别是a1b a1c的中点 点d在b1c1上 a1d b1c 求证 1 ef 平面abc 2 平面a1fd 平面bb1c1c 分析 证明面面垂直 在其中一个平面内寻找另一平面的垂线是证明的关键 证明 1 因为e f分别是a1b a1c的中点 所以ef bc 又ef 平面abc bc 平面abc 所以ef 平面abc 2 因为三棱柱abc a1b1c1为直三棱柱 所以bb1 平面a1b1c1 bb1 a1d 又a1d b1c 所以a1d 平面bb1c1c 又a1d 平面a1fd 所以平面a1fd 平面bb1c1c 点评 注意线线垂直 线面垂直 面面垂直之间的转化 跟踪训练3如图所示 abc为正三角形 ec 平面abc bd ce 且ce ca 2bd m是ea的中点 求证 1 de da 2 平面bdm 平面eca 3 平面dea 平面eca 证明 1 取ec中点f 连接df 由ec 平面abc及bd ce 知ec bc db 平面abc 故db ab db bc ec 平面abc ec bn 又ca bn ec ca c bn 平面eca bn 平面bdm 平面bdm 平面eca 3 由 2 知dm bn bn 平面eca dm 平面eca dm