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3 4 基本不等式 3 4 1 基本不等式 一 1 设a b是任意的两个正数 称 a b2 为a b的 称为a b的 2 1和9的算术平均数是 而1和9的几何平均数是 3 重要不等式 设a b r a2 b2 2ab a b 2 0 a2 b2 当且仅当 时 等号成立 4 基本不等式 设a b是任意的两个正数 那么 当且仅当 时 等号成立 基本不等式可叙述为 两个正数的 算术平均 数 几何平均数 5 3 2ab a b a b 算术平均数不小于它们的几何平均数 如果把 a b2 看作是正数a b的等差中项 看作是正数 a b的等比中项 那么基本不等式也可以叙述为 两个正数的 a b中最大的是 a b b a2 b2 c 2ab d 12 等差中项不小于它们的等比中项 a b 重点 对公式a2 b2 2ab及 2 的理解 1 两个公式成立的条件是不同的 前者只要求a b是实数 而后者强调a b必须是正数 难点 基本不等式的两种解释 图1 基本不等式正用a b 3x的最小值 1 1 若x 0 求f x 12x 1 2 已知x 3 求 4x 3 x的最小值 基本不等式反用 例2 1 函数f x x 1 x 0 x 1 的值域为 利用基本不等式证明简单的不等式例3 已知正数a b满足a b 1 求证 思维突破 本题在考查均值定理等号何时成立的同时 也 点评 在考查 题时由于涉及到多个等号能否同时成立的问题 这是同学们最容易忽略的问题 在考查 的等号是同学最容易出错的地方 4 a a b u恒成立的
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