线性代数第五章(第一节内积).ppt

第五章 相似矩阵 讨论矩阵在相似意义下化简为对角矩阵的问题 本章讨论在理论上和实际应用上都非常重 要的矩阵特征值问题 并利用特征值的有关理论 内积定义 主要内容 内积的性质 n维向量的长度 范数 和夹角 第一节向量的内积 向量夹角 正交向量组的性质 正交基与规范正交基 施密特正交化方法 定义1设有n维向量 令 x1y1 x2y2 xnyn 称为向 量x与y的内积 一 内积的定义 内积是向量的一种运算 这种运算也可用矩 阵记号表示 当x与y都是列向量时 有 xTy 1 2 3 4 0 且当x 0时有 0 下列性质 二 内积的性质 设x y z为n维向量 为实数 则内积有 在解析几何中 我们曾引进向量的数量积 度和夹角 广 并且反过来 利用内积来定义n维向量的长 念 因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推 维向量没有3维向量那样直观的长度和夹角的概 所以n维向量的内积是数量积的一种推广 但n x1 x2 x3 y1 y2 y3 x1y1 x2y2 x3y3 且在直角坐标系中 有 x y x y cos 三 向量的长度和夹角 1 向量的长度定义2令 x 称为n维向量x的长度 或范数 特别地 当 x 1时 则称x为单位向量 显然 当 0时 0 当 0时 则 0 单位向量称为向量 的单位化 2 向量的夹角向量的内积满足施瓦茨不等式2 由此可得 当 x y 0时 于是有下面的定义 定义3当 x 0 y 0时 称为n维向量x与y的夹角 量正交 x 0 则x与任何向量都正交 即零向量与任何向 当 0时 称向量x与y正交 显然 若 1 正交向量组的定义定义4由两两正交的非零向量构成的向量 两两正交的非零向量 则a1 a2 ar线性无关 定理1若n维向量a1 a2 ar是一组 2 正交向量组的性质 组称为正交向量组 四 正交向量组 设有k1 k2 kr使k1a1 k2a2 krar 0 那么 证明 对任意的 i 1 i r 因 0 从而必有ki 0 证毕 例1已知4维向量空间R4中三个向量 正交 试求一个非零向量a4 使a1 a2 a3 a4两两正交 令 解 则a4应满足齐次线性方程Ax 0 即 解之得 1 定义5设a1 a2 ar是向量空间V V Rn 单位向量 则称 1 r是V的一个正交规范基 V Rn 的一个基 如果 1 r两两正交 且都是 定义6设n维向量 1 2 r是向量空间V a1 a2 ar是V的一个正交基 的一个基 如果a1 a2 ar两两正交 则称 五 正交规范基 2 用正交规范基表示向量 即ki 得 ki ki 分别用 i与 做内积 a k1 1 k2 2 kr r 示 设表示式为 么V中任一向量a应能由 1 2 r线性表 若 1 2 r是V的一个正交规范基 那 六规范正交基的求法设a1 a2 ar是向量空间V的一个基 要 正交化 我们可以用以下方法把a1 a2 ar规范 ar这个基规范正交化 a1 a2 ar等价这样一个问题 称为把a1 a2 正交的单位向量 1 2 r 使 1 r与 求V的一个正交规范基 这也就是要找一组两两 取b1 a1 容易验证b1 br两两正交 且b1 br与 然后只要把它们单位化 即取 a1 ar等价 就得V的一个正交规范基 bk与a1 ak等价 等价 还满足对任何k 1 k r 向量组b1 正交化过程 它不仅满足b1 br与a1 ar 向量组b1 br的过程称为施密特 Schimidt 上述从线性无关向量组a1 ar导出正交 综上所述 求向量空间V的一个规范正交基 的一个规范正交基 Step3 把正交基b1 br单位化即得V 得正交基b1 br Step2 用施密特过程把a1 ar正交化 Step1 求V的任意一个基a1 ar 可归为以下三步 例2设 试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化 取b1 a1 解 再把它们单位化 取 则 1 2 3即