【绿色通道】高考数学总复习 28函数与方程课件 新人教A版.ppt

1 函数的零点 1 函数零点的定义对于函数y f x x d 把使成立的实数x叫做函数y f x x d 的零点 2 几个等价关系方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与x轴有交点 函数y f x 有 f x 0 零点 3 函数零点的判定 零点存在性定理 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有 那么函数y f x 在区间内有零点 即存在c a b 使得 这个也就是f x 0的根 f a f b 0 a b f c 0 c 在上面的条件下 a b 内的零点有几个 提示 在上面的条件下 a b 内的零点至少有一个c 还可能有其他根 个数不确定 2 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与零点的关系 x1 0 x2 0 x1 0 两个零点 一个零点 无零点 3 二分法 1 二分法的定义对于在区间 a b 上连续不断且的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间 使区间的两个端点逐步逼近 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 f a f b 0 一分为二 零点 2 用二分法求函数f x 零点近似值的步骤第一步 确定区间 a b 验证 给定精确度 第二步 求区间 a b 的中点x1 第三步 计算 若 则x1就是函数的零点 若 则令b x1 此时零点x0 a x1 若 则令a x1 此时零点x0 x1 b 第四步 判断是否达到精确度 即若 a b 则得到零点近似值a 或b 否则重复第二 三 四步 f a f b 0 f x1 f x1 0 f a f x1 0 f x1 f b 0 1 若函数y f x 在r上递增 则函数y f x 的零点 a 至少有一个b 至多有一个c 有且只有一个d 可能有无数个答案 b 2 如下图所示的函数图象与x轴均有交点 其中不能用二分法求图中交点横坐标的是 a b c d 答案 b 3 用二分法研究函数f x x3 3x 1的零点时 第一次经计算f 0 0可得其中一个零点x0 第二次应计算 以上横线上应填的内容为 a 0 0 5 f 0 25 b 0 1 f 0 25 c 0 5 1 f 0 75 d 0 0 5 f 0 125 解析 本题是考查了利用二分法求零点的有关知识 f x x3 3x 1是r上的连接函数 且f 0 0 则f x 在x 0 0 5 上存在零点 且第二次验证时需验证f 0 25 的符号 答案 a 4 函数y x2 2x 2 9的图象与x轴交点的个数是 解析 令y 0 x2 2x 3 x2 2x 3 0 x2 2x 3 0 x2 2x 3 0 解得x 1或x 3 即方程f x 0只有两个实数根 答案 2 5 已知二次函数f x 4x2 2 p 2 x 2p2 p 1在区间 1 1 内至少存在一个实数c 使f c 0 求实数p的取值范围 思路分析 本题是函数零点的问题 由函数零点的定义判断即可 答案 d 本题是江苏版数学必修1第81页习题2 求证 方程5x2 7x 1 0的根一个在区间 1 0 内 另一个在区间 1 2 内 的一个改编题 考题将方程改成了一个函数 方程的根就变成了函数的零点 将证明题改成了一个选择题 考题更加直接明了地考查函数的零点的判断 没有设计其他求解的障碍 例2 1 若函数f x ax2 x 1有且仅有一个零点 求实数a的值 2 若函数f x 4x x2 a有4个零点 求实数a的取值范围 思路分析 1 二次项系数含有字母 分类讨论即可 2 利用函数图象求解 2 若f x 4x x2 a有4个零点 即 4x x2 a 0有四个根 即 4x x2 a有四个根 令g x 4x x2 h x a 作出g x 的图象 由图象可知如果要使 4x x2 a有四个根 那么g x 与h x 的图象应有4个交点 故需满足0 a 4 即 4 a 0 a的取值范围是 4 0 此类方程根的分布问题 通常有两种解法 一种是利用方程中根与系数的关系或利用函数思想结合图象求解 二是构造两个函数分别作出图象 利用数形结合法求解 此类题目也体现了函数与方程 数形结合的思想 0化为 a x3 作出f x x3 图象如右图所示 由图象特征知当 a f 2 或 a6或a 6即为所求 故填 6 6 答案 6 6 1 375 1 3125 0 0625 0 1 函数的零点落在区间长度小于0 1的区间 1 3125 1 375 内 故函数零点的近似值为1 3125 用二分法求函数的零点的近似值 使精确度为正数 指将零点的初始值区间 a b 逐次二等分所得的区间 a b 满足 a b 此时 取 a b 的一个端点值a 或b 作为函数的零点的近似值即可 变式迁移3求函数f x x2 5的负零点 精确度0 1 解 由于f 2 10 故取区间 3 2 作为计算的初始区间 用二分法逐次计算 列表如下 根据上表计算知 区间 2 25 2 1875 的长度是0 0625 0 1 所以原方程的近似解可以是 2 1875 例4 已知函数f x mx2 m 3 x 1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧 则实数m的取值范围是 a 0 1 b 0 1 c 1 d 1 变式迁移4若关于x的方程3tx2 3 7t x 4 0的两实根 满足0 1 2 则实数t的取值范围是 解析 依题意 函数f x 3tx2 3 7t x 4的两个零点 满足0 1 2 且函数f x 过点 0 4 则必有 1 函数零点的理解 1 函数的零点 方程的根 函数图象与x轴的交点的横坐标 实质是同一个问题的三种不同表达形式 方程根的个数就是函数零点的个数 亦即函数图象与x轴交点的个数 2 变号零点与不变号零点 若函数f x 在零点x0左右两侧的函数值异号 则称该零点为函数f x 的变号零点 若函数f x 在零点x0左右两侧的函数值同号 则称该零点为函数f x 的不变号零点 3 若函数f x 在区间 a b 上的图象是一条连续的曲线 则f a f b 0是f x 在区间 a b 内有零点的充分不必要条件 2 用二分法求曲线交点的坐标应注意的问题 1 曲线交点坐标即为方程组的解 从而转化为求方程的根 2 求曲线y f x 和y g x 的交点的横坐标 实际上就是求函数y f x g x 的零点 即求f x g x 0的根 3 关于用二分法求函数零点近似值的步骤须注意的问题 1 第一步中要使 区间长度尽量小 f a f b 的值比较容易计算且f a f b 0 2 根据函数的零点与相应方程根的关系 求函数的零点与求相应