【学海导航】高三数学第一轮总复习 2.4 函数的单调性课件（2）.ppt

第二章 函数 2 4函数的单调性 第二课时 题型4利用单调性求参数的取值范围 1 设a r 为常数 已知函数f x lg ax 1 lg x 1 在区间 10 上单调递增 求a的取值范围 解法1 由已知 当x1 x2 10时 有f x1 f x2 恒成立 即lg ax1 1 lg x1 1 lg ax2 1 lg x2 1 即所以恒成立 因为 所以 a 1 所以a的取值范围是 1 解法2 因为f x lg a 在 10 上是增函数 所以y a 在 10 上是增函数 又y 在 10 上是减函数 所以a 1 0 即a 1 因为当x 10 时f x 有意义 所以当x 10时 ax 1 0恒成立 即a 恒成立 所以a max 故a 1 点评 由函数的单调性逆求参数的取值范围 即根据单调性质得出相应的不等式 组 由此不等式 组 恒成立 得出相应参数的取值范围 注意函数定义域的应用 1 若函数f x x2 2a 1 x 1在区间 1 2 上是单调函数 求a的取值范围 2 若函数f x ax 在区间 2 上是增函数 求a的取值范围 解 1 f x x2 2a 1 x 1 x 2 故对称轴为 要使f x 在区间 1 2 上是单调函数 需 1或 2 解得a 或a 所以a的取值范围为 2 f x ax a 1 若要使f x 在 2 上是增函数 则需1 2a 所以a的取值范围为 2 已知奇函数y f x 是定义在 2 2 上的减函数 若f m 1 f 2m 1 0 求实数m的取值范围 解 因为f m 1 f 2m 1 且f x 为奇函数 所以f m 1 f 1 2m 又因为f x 在 2 2 上递减 所以 2 m 1 1 2m 2 即 m 所以m的取值范围为 题型5利用函数单调性求解函数不等式 点评 与函数有关的不等式的解法 关键是根据单调性质剥掉外层符号 f 得出相应的具体不等式 特别注意函数定义域这一个隐含条件不能忽略 设函数f x 解不等式f x2 x 1 1 解 显然 f x 的定义域为 0 又f x 因为y 和在 0 上都是增函数 所以f x 在 0 上是增函数 又f 1 1 所以不等式化为f x2 x 1 f 1 0 x2 x 1 1 即由此解得x 2 1 拓展练习 3 已知定义在r上的单调函数f x 满足f 1 0 且对任意x y r 都有f x y f x f y 若f k 3x f 3x 9x 2 0对任意x r都成立 求实数k的取值范围 解 取x y 0 则f 0 2f 0 f 0 0 所以不等式可化为f k 3x 3x 9x 2 f 0 因为f x 是单调函数 f 1 0 f 0 所以f x 是r上的单调递增函数 从而不等式等价于k 3x 3x 9x 2 0 题型6抽象函数的单调性问题 即k 恒成立 所以k min 因为 当且仅当x log3时取等号 所以 3x 1 min 2 1 故k的取值范围是 2 1 点评 解决抽象函数问题 其策略是利用赋值法或配凑法 如本题中令x y 0 得到f 0 0 从而将不等式化为f k 3x f 3x 9x 2 f 0 再利用函数的性质剥掉外层符号 f 即可求解 有时还可以找一具体函数来理解 如本题中的具体函数是f x kx 已知f x 是定义在 0 上的增函数 且对任意x y 0 有f x y f x f y 若f 2 1 解不等式f x f x 3 2 解 取x y 2 则f 4 2f 2 2 所以不等式化为f x x 3 f 4 因为f x 是定义在 0 上的增函数 所以即解得3 x 4 所以原不等式的解集是 3 4 1 判定抽象函数的单调性 一般用定义法 但要注意对抽象函数的性质条件作适当变通 如当函数f x 为奇函数时 f x f y f x y f x f y f x y 2 求单调函数中参数的取值范围 是单调性概念的逆向运用 一般通过分离参数 转化为不等式恒成立问题来解决 需要注意的是 所有的不等式变