【金版教程】高考数学总复习 9.3直线与平面垂直、三垂线定理精品课件 文 新人教B版.ppt

最新考纲解读掌握线面垂直的证明方法 并能熟练解决相应问题 高考考查命题趋势直接运用定义 判定定理 性质定理进行推理论证或以几何体为载体逆用定理画出垂线或射影 本节主要考查线线 线面垂直的判定与性质 多以选择题和解答题形式出现 解答题中多以证明线面垂直 求线面角为主 属中档题 1 直线和平面垂直 1 线面垂直定义 如果一条直线和一个平面相交 并且和这个平面内的任意一条直线都垂直 我们就说这条直线和这个平面互相垂直 其中直线叫做平面的垂线 平面叫做直线的垂面 交点叫做垂足 直线与平面垂直简称线面垂直 记作 a 2 直线与平面垂直的判定定理 判定1 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 那么这条直线垂直于这个平面 判定2 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面 那么另一条也垂直于这个平面 3 直线和平面垂直的性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面 那么这两条直线平行 4 点到平面的距离 5 直线和平面的距离 6 直线与平面所成的角 斜线与其在平面上的射影所成的角叫做斜线与平面所成的角 当a 或a 时直线与平面所成的角为0 当a 直线与平面所成的角为90 故直线与平面所成角的范围为 0 2 三垂线定理 1 斜线在平面上的射影 2 垂线段 斜线段 射影的关系定理 3 三垂线定理 在平面内的一条直线 如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线垂直 4 三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线垂直 那么它也和这条斜线的射影垂直 5 最小角定理 线面垂直的证明 1 判定定理 2 如果两条平行线中一条垂直于一个平面 那么另一条也垂直于这个平面 3 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面 它也垂直于另一个平面 4 两个平面垂直 在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 5 如果两个相交平面都与第三个平面垂直 那么它们的交线与第三个平面垂直 一 选择题1 2008上海13 给定空间中的直线l及平面 条件 直线l与平面 内无数条直线都垂直 是 直线l与平面 垂直 的 条件 a 充要b 充分非必要c 必要非充分d 既非充分又非必要 答案 c 2 给出下列命题 直线上有两点到平面的距离相等 则此直线与平面平行 夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面 直线m 平面 直线n m 则n a b是异面直线 则存在唯一的平面 使它与a b都平行且与a b距离相等 其中正确的两个命题是 a b c d 解析 错误 如果这两点在该平面的异侧 则直线与平面相交 正确 如图 平面 a c d b 且e f分别为ab cd的中点 过c作cg ab交平面 于g 连结bg gd 设h是cg的中点 则eh bg hf gd eh 平面 hf 平面 平面ehf 平面 平面 ef ef 错误 直线n可能在平面 内 正确 如图 设ab是异面直线a b的公垂线段 e为ab的中点 过e作a a b b 则a b 确定的平面即为与a b都平行且与a b距离相等的平面 并且它是唯一确定的 答案 d 3 在正方形sg1g2g3中 e f分别是g1g2 g2g3的中点 d是ef的中点 沿se sf及ef把这个正方形折成一个四面体 使g1 g2 g3三点重合 重合后的点记为g 那么 在四面体s efg中必有 a sg 平面efgb sd 平面efgc fg 平面sefd gd 平面sef 解析 注意折叠过程中 始终有sg1 g1e sg3 g3f 即sg ge sg gf 所以sg 平面efg 答案 a 4 pa垂直于以ab为直径的圆所在的平面 c为圆上异于a b的任一点 则下列关系不正确的是 a pa bcb bc 平面pacc ac pbd pc bc 解析 由三垂线定理知ac不垂直pb 故选c 答案 c 二 填空题5 abc的三个顶点a b c到平面 的距离分别为2cm 3cm 4cm 且它们在 的同侧 则 abc的重心到平面 的距离为 答案 3cm6 在直四棱柱abcd a1b1c1d1中 当底面四边形abcd满足条件 时 有a1c b1d1 注 填上你认为正确的一种条件即可 不必考虑所有可能的情况 答案 a1c1 b1d1或四边形a1b1c1d1为菱形等 例1已知直线a 平面 直线b 平面 o a为垂足 求证 a b 证明 以o为原点直线a为z轴 建立空间直角坐标系 i j k为坐标向量 直线a b的方向向量分别为a b 设b x y z b b i 0 b j 0 b 0 0 z zk b k a b 证明两直线平行 也就是证明其方向向量共线 所以 利用两向量共线的充要条件证明两直线平行是新教材基本的数学方法 应做到熟练运用 例2在直三棱柱abc a1b1c1中 b1c1 a1c1 a1b ac1 求证 a1b b1c 证明 取a1b1的中点d1 连结c1d1 b1c1 a1c1 c1d1 面abb1a1 连结ad1 则ad1是ac1在平面abb1a1内的射影 a1b ac1 a1b ad1 取ab的中点d 连结cd b1d 则b1d ad1 且b1d是b1c在平面abb1a1内的射影 b1d a1b a1b b1c 证明异面直线垂直的常用方法有 证明其中一直线垂直于另外一直线所在的平面 利用三垂线定理及其逆定理 解 解法一 1 证明 作so bc 垂足为o 连结ao 由侧面sbc 底面abcd 得so 底面abcd 因为sa sb 所以ao bo 又 abc 45 故 aob为等腰直角三角形 ao bo 由三垂线定理 得sa bc 用几何法求线面角时常用到求点到面的距离 经常采用等体积法 利用同一个几何体 体积相等 体现了转化