【金版教程】高考数学总复习 8.5轨迹问题课件 文 新人教B版.ppt

最新考纲解读1 了解解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题的方法 2 理解轨迹的概念 能够根据所给条件选择适当的直角坐标系 运用求轨迹的常用方法求曲线的轨迹方程 3 掌握求动点的轨迹方程的几种常见方法 高考考查命题趋势1 求动点轨迹方程是解析几何的基本问题之一 是高考的热点 2 解轨迹问题的出发点有二 一是找出约束动点变动的几何条件 二是找出影响动点变动的因素 3 在2009年高考中全国共有4套试题在此命题主要考查求动点轨迹方程或圆锥曲线方程 如2009湖南20 2009宁夏20 估计2011年求圆锥曲线方程仍是高考的热点 难度偏难 1 动点轨迹看成适合某几何条件的点的集合 2 求动点轨迹方程的方法 1 轨迹类型已确定的 一般用待定系数法 2 定义法 如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义 则可依定义写出轨迹方程 3 直接法 动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的 一般用直接法 4 相关点法 一动点随另一动点的变化而变化 一般用坐标转移法又叫相关点法 5 参数法 有时求动点应满足的几何条件不易得出 也无明显的相关点 但较容易发现这个动点的运动常常受另一个变量的影响 我们称这个变量为参数 根据题中给定的轨迹条件 用一个参数来分别表示动点的坐标 间接地把坐标x y联系起来 得到用参数表示的方程 这种方法叫参数法 如果消去参数 就可以得到轨迹的普通方程 6 交轨法 求两动曲线的交点的问题 常常通过解方程组得出交点坐标 然后再消去参数求出轨迹方程的方法 7 几何法 若所求的轨迹满足某些几何条件 如 线段的垂直平分线 角平分线的性质 根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法 3 直接法求轨迹方程的方法步骤 1 建系 建立适当的直角坐标系 2 设点 设动点m的坐标为 x y 3 列式 列出几何等式 p m p m 4 代换 代入坐标m x y 列出方程f x y 0 5 化简 化简成最简方程形式 6 证明 略 注意对特殊情况的讨论 4 体会 设而不求 在解题中的简化运算功能 1 求弦长时用韦达定理设而不求 2 弦中点问题用 点差法 设而不求 5 体会数学思想方法方程思想 转化思想 数形结合等思想方法在解题中的运用 1 求轨迹方程与求轨迹的区别 1 若是求轨迹方程 我们应选择合适的方法求出其方程 最后 补漏 和 去掉增多 的点即可 若轨迹有不同的情况 应分类讨论 以保证它的完整性 即求轨迹方程就是求得的方程加限制条件 2 若求轨迹 则不仅要求求出其轨迹方程 而且还需要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形 在何处 即图形的形状 位置 大小都需说明 讨论清楚 最后 补漏 和 去掉增多 的点 若轨迹有不同的情况 应分别讨论 以保证它的完整性 2 估计2011年高考对求轨迹方程仍是重点 1 对于求曲线 或轨迹 的方程这类问题 高考常常不给出图形或不给出坐标系 以考查学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力 2 借助求轨迹方程 进而深入考查与圆锥曲线有关的最值问题 参数范围问题 这类问题的综合性较大 解题中需要根据具体问题 灵活运用解析几何 平面几何 函数 不等式 三角知识 正确的构造不等式或方程 体现了解析几何与其他数学知识的联系 一 选择题1 与两点 3 0 3 0 距离的平方和等于38的点的轨迹方程是 a x2 y2 10b x2 y2 10c x2 y2 38d x2 y2 38 解析 设动点的坐标为 x y 由题意得 x 3 2 y2 x 3 2 y2 38 化简得 x2 y2 10 答案 b 2 若 x y 3 0 则点m x y 的轨迹是 a 圆b 椭圆c 双曲线d 抛物线 答案 c 3 已知m 2 0 n 2 0 pm pn 4 则动点p的轨迹是 a 双曲线b 双曲线左支c 一条射线d 双曲线右支 解析 由双曲线的第一定义知动点的轨迹是一条射线 答案 c 4 辽宁高考卷 已知点a 2 0 b 3 0 动点p x y 满足 x2 则点p的轨迹是 a 圆b 椭圆c 双曲线d 抛物线 解析 p x y 满足 x2 x 2 x 3 y2 x2 化简得 y2 x 6 即点p的轨迹是一条抛物线 答案 d 5 过椭圆4x2 9y2 36内一点p 1 0 引动弦ab 则ab的中点m的轨迹方程是 a 4x2 9y2 4x 0b 4x2 9y2 4x 0c 4x2 9y2 4y 0d 4x2 9y2 4y 0 答案 a 二 解答题6 已知抛物线c y2 4x 若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线c的焦点f及准线l分别重合 试求椭圆短轴端点b与焦点f连线中点p的轨迹方程 解题思路 探求动点满足的几何关系 在转化为方程 解 由抛物线y2 4x 得焦点f 1 0 准线l x 1 设p x y 则b 2x 1 2y 设椭圆中心为o 则 fo bf e 又设点b到l的距离为d 则 bf d e fo bf bf d 即 2x 2 2 2y 2 2x 2x 2 化简得p点轨迹方程为y2 x 1 x 1 例1 1 在直角坐标平面内 已知两点a 2 0 和b 2 0 q为该平面内的一动点且线段bq的垂直平分线交aq于点p aq 6 证明 pa pb 为常数 并写出点p的轨迹t的方程 证明 如图所示 连结pb 线段bq的垂直平分线与aq交于点p pb pq 又 aq 6 pa pb pa pq aq 6 常数 又 pa pb ab 从而p点的轨迹t是中心在原点 以a b为两个焦点 长轴在x轴上的椭圆 其中 2a 6 2c 4 a 3 c 2 b2 5 2 若点p到直线x 2 0的距离比它到点 3 0 的距离小1 则点p的轨迹为 a 圆b 椭圆c 双曲线d 抛物线 解析 把p到直线x 2向左平移一个单位 两个距离就相等了 它就是抛物线的定义 答案 d 解 若将原方程平方 化简后并不能直接判断出轨迹是什么曲线 注意式子结构的特点 左边可看成点m到点 2 0 的距离 从而可联想右边可化为点m到直线x y 2 0的距离 即有 由此联想到椭圆的第二定义 就很简单地求出点m的轨迹是椭圆 1 定义法 如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义 则可依定义写出轨迹方程 2 借助圆锥曲线的定义求某些轨迹问题 如 椭圆 双曲线 抛物线的定义是经常考查的内容 除了在大题中考查轨迹时用到外 经常在选择题 填空题中也有出现 属中等偏易题 3 在例1 2 中考查抛物线的定义 将点p到x 2的距离 转化为点p到x 3的距离 体现了数学上的转化与化归的思想 思考探究1 春季高考题 已知椭圆的焦点是f1 f2 p是椭圆上一个动点 如果延长f1p到q 使得 pq pf2 那么动点q的轨迹是 a 圆b 椭圆c 双曲线一支d 抛物线 解析 因为 pq pf2 所以 qf1 pq pf1 pf2 pf1 由椭圆第一定义得 pf1 pf2 2a 故 qf1 2a 根据圆的定义知点q的轨迹是圆 答案 a 思考探究2一动圆与圆x2 y2 6x 5 0外切 同时与圆x2 y2 6x 91 0内切 求动圆圆心m的轨迹方程 并说明它是什么样的曲线 解法一 设动圆圆心为m x y 半径为r 设已知圆的圆心分别为o1 o2 将圆方程分别配方得 x 3 2 y2 4 x 3 2 y2 100 当 m与 o1相切时 有 o1m r 2 当 m与 o2相切时 有 o2m 10 r 将 两式的两边分别相加 得 o1m o2m 12 解法二 由解法一可得 o1m o2m 12 由以上方程知 动圆圆心m x y 到点o1 3 0 和o2 3 0 的距离和是常数12 所以点m的轨迹是焦点为o1 3 0 o2 3 0 长轴长等于12的椭圆 并且椭圆的中心在坐标原点 焦点在x轴上 2c 6 2a 12 c 3 a 6 b2 36 9 27 圆心轨迹方程为 1 轨迹是椭圆 1 当动点所满足的集合条件已知时 就可用直接法求此动点的轨迹方程 2 在求动点轨迹方程时应注意它的纯粹性和完备性 防止遗漏点和混杂点 3 常见的求轨迹方程的方法 单动点的轨迹问题 直接法 待定系数法 如本题就只有一个动点 例3已知 abc的顶点a b的坐标分别为a 0 0 b 6 0 顶点c在曲线y x2 3上运动 求 abc重心的轨迹方程 解 设g x y 为所求轨迹上任一点 顶点c的坐标为 x0 y0 则由重心坐标公式得 因为顶点c x0 y0 在曲线y x2 3上 所以有3y 3x 6 2 3 整理得 y 3 x 2 2 1 即为所求轨迹方程 1 本例是求轨迹方程中的常见题型 难度适中 本题解法称为代入法 或相关点法 此法适用于已知一动点的轨迹方程 求另一动点轨迹方程的问题 即双动点的轨迹问题 代入法 2 用代入法求轨迹方程时 要注意对动点所满足的条件进行等价转化 如本例中曲线y x2 3上没有与a b共线的点 因此 整理就得到轨迹方程 若曲线方程为y x2 3 则应去掉与a b共线时所对应的重心坐标 3 若题中没有给出坐标系 一定要根据题中的数据选择合适的坐标系 这样能使所求轨迹方程简单 思考探究4已知双曲线 y2 1有动点p f1 f2是曲线的两个焦点 求 pf1f2的重心m的轨迹方程 例4抛物线x2 4y的焦点为f 过点 0 1 作直线交抛物线于不同两点a b 以af bf为邻边作平行四边形farb 求顶点r的轨迹方程 解 设直线ab y kx 1 a x1 y1 b x2 y2 r x y 由题意得 f 0 1 又ab和rf是平行四边形的对角线 x1 x2 x y1 y2 y 1 而y1 y2 k x1 x2 2 4k2 2 消去k得x2 4 y 3 由于直线和抛物线交于不同两点 16k2 16 0 k 1或k4或x4 1 如果求动点p x y 中x y的关系不易找到 也没有相关信息可用时 则可先考虑将x y用一个或几个参数来表示 消去参数得轨迹方程 此法称为参数法 2 参数法中常选变角 变斜率等为参数 注意参数的取值范围对方程中的x和y范围的影响 思考探究5已知点a在椭圆上运动 点b 0 9 点m在线段ab上 且 试求动点m的轨迹方程 解 由题意知b 0 9 设a 12cos 6sin 并且设m x y 1 abc的顶点a固定 点a的对边bc的长为2a 边bc上的高为b 边bc沿一条定直线移动 求 abc外心的轨迹方程 解 以bc所在定直线为x轴 过a作x轴的垂线为y轴 建立直角坐标系 则a点的坐标为 0 b 设 abc的外心为m x y 2 广东高考 18 设函数f x x3 3x 2分别在x1 x2处取得极小值 极大值 xoy平面上点a b的坐标分别为 x1 f x1 x2 f x2 该平面上动p满足 点q是点p关于直线y 2 x 4 的对称点 求 1 点a b的坐标 2 动点q的轨迹方程 解 1 对y x3 3x 2求导得y 3x2 3 令y 3x2 3 0解得x 1 当x0 当x 1时 y 0 所以y x3 3x 2在x 1处取得极小值0 在x 1处取得极大值4 即点a b的坐标分别为 1 0 1 4 3 求过定点为 0 1 的直线被双曲线x2 1截得的弦中点轨迹方程 解法一 若该直线的斜率不存在时与双曲线无