【全套解析】高三数学一轮复习 67 数学归纳法课件 （理） 新人教A版.ppt

第七节数学归纳法 1 了解数学归纳法的原因 掌握用数学归纳法证明问题的基本步骤 2 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 1 归纳法由一系列有限的特殊事例得出的推理方法叫归纳法 根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为归纳法和归纳法 2 数学归纳法设 pn 是一个与正整数相关的命题集合 如果 1 证明起始命题 或 成立 2 在假设成立的前提下 推出也成立 那么可以断定 pn 对一切正整数成立 一般结论 完全 不完全 p1 p0 pk pk 1 3 数学归纳法证题的步骤 1 归纳奠基 证明当n取第一个值时 命题成立 2 归纳递推 假设 k n0 k n 时命题成立 证明当时命题也成立 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 n n0 n k n k 1 1 用数学归纳法证明3n n3 n 3 n n 第一步应验证 a n 1b n 2c n 3d n 4答案 c 2 用数学归纳法证明1 2 22 2n 1 2n 2 1 n n 的过程中 在验证n 1时 左端计算所得的项为 a 1b 1 2c 1 2 22d 1 2 22 23解析 当n 1时 左边有n 2项 即有3项和 为1 2 22 答案 c 5 在数列 an 中 a1 1 且sn sn 1 2s1成等差数列 sn表示数列 an 的前n项和 则s2 s3 s4分别为 由此猜想sn 解析 由sn sn 1 2s1成等差数列 得2sn 1 sn 2s1 s1 a1 1 2sn 1 sn 2 热点之一数学归纳法的基本原理数学归纳法是一种只适用于与自然数有关的命题的证明方法 它的表述严格而且规范 两个步骤缺一不可 第一步是递推的基础 第二步是递推的依据 第二步中 归纳假设起着 已知条件 的作用 在第二步的证明中一定要运用它 否则就不是数学归纳法 第二步的关键是 一凑假设 二凑结论 即时训练用数学归纳法证明 当n为正奇数时 xn yn能被x y整除 第二步归纳假设应写成 a 假设n 2k 1 k n 正确 再推n 2k 3正确b 假设n 2k 1 k n 正确 再推n 2k 1正确c 假设n k k n 正确 再推n k 1正确d 假设n k k 1 正确 再推n k 2正确解析 首先要注意n为奇数 其次还要使 n k 能取到1 故选b 答案 b 热点之二用数学归纳法证明有关问题用数学归纳法可以证明与正整数有关的恒等式 不等式 整除性问题和几何问题等 应用数学归纳法要注意其基本步骤 热点之三归纳 猜想与证明 归纳 猜想 证明 的模式 是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式 其一般思路是 通过观察有限个特例 猜想出一般性的结论 然后用数学归纳法证明 这种方法在解决探索性问题 存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用 其关键是归纳 猜想出公式 即时训练设数列 an 满足an 1 an2 nan 1 n 1 2 3 1 当a1 2时 求a2 a3 a4 并由此猜想出an的一个通项公式 2 当a1 3时 证明对所有的n 1 有an n 2 解 1 由a1 2 得a2 a12 a1 1 3 由a2 3 得a3 a22 2a2 1 4 由a3 4 得a4 a32 3a3 1 5 由此猜想an的一个通项公式 an n 1 n 1 2 证明 用数学归纳法证明 当n 1时 a1 3 1 2 不等式成立 假设当n k时不等式成立 即ak k 2 那么 ak 1 ak ak k 1 k 2 k 2 k 1 k 3 也就是说 当n k 1时 ak 1 k 1 2 根据 和 对于所有n 1 都有an n 2 通过分析近年的高考试题可以看出 不但考查用数学归纳法去证明现成的结论 还考查用数学归纳法证明新发现的结论的正确性 数学归纳法的应用主要出现在数列解答题中 一般是先根据递推公式写出数列的前几项 通过观察项与项数的关系 猜想出数列的通项公式 再用数学归纳法进行证明 初