高考数学复习方案 第3单元第22讲 正弦定理和余弦定理件 理 北师大版.ppt

第22讲 正弦定理和余弦定理 第22讲正弦定理和余弦定理 知识梳理 1 关于正弦定理 1 正弦定理 在一个三角形中 各边和它所对角的正弦的比相等 即 2 正弦定理的变形 设外接圆半径为r a b c 第22讲 知识梳理 2rsina 2rsinb 2rsinc sina sinb sinc a b c 3 正弦定理解决的斜三角形的类型 已知三角形的两角及一边 求其他的 已知三角形的两边和其中一边的对角 求其他的 第22讲 知识梳理 sina sinb sinc 两边及一角 两角及一边 第22讲 知识梳理 一解 无解 一解 一解 无解 第22讲 知识梳理 2 关于余弦定理 1 余弦定理 三角形中任何一边的平方等于 即a2 b2 c2 2 余弦定理的变形cosa cosb cosc 3 余弦定理解决的斜三角形的类型 已知三角形的三边 求 已知两边及其夹角 求 其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 b2 c2 2bccosa a2 c2 2accosb a2 b2 2abcosc 三角 第三边及其余两角 要点探究 探究点1正弦定理解三角形 第22讲 要点探究 第22讲 要点探究 思路 1 已知三角形的两个内角 实际上就是已知了三角形的三个内角 相当于在 abc中已知一边和另外两边的对角 求解边长 使用正弦定理 2 根据已知可以求出角b 进而在 abc中已知两边及一边的对角 可以使用正弦定理求解另一边的对角 第22讲 要点探究 第22讲 要点探究 变式题 如图22 1所示 已知扇形oab o为顶点 圆心角 aob 60 半径为2cm 在弧ab上有一动点p 由p引平行ob的直线和oa相交于c aop 求 poc的面积的最大值以及此时 的值 图22 1 思路 所求三角形的面积等于oc opsin 在 ocp中根据正弦定理建立oc的长度关于角 的关系式 然后进行三角恒等变换求解 第22讲 要点探究 第22讲 要点探究 探究点2余弦定理解三角形 第22讲 要点探究 思路 已知的是三角形的两边及一边的对角 可以使用正弦定理求出角b 再根据三角形内角和定理求解角a 再根据正弦定理或者余弦定理求出边 也可以直接根据余弦定理列出关于边的方程 通过解方程求出边a 答案 1 第22讲 要点探究 第22讲 要点探究 第22讲 要点探究 变式题 图22 2 第22讲 要点探究 思路 1 根据余弦定理 2 甲在线段ox上和甲在射线ox 上分别使用余弦定理 3 根据建立的函数关系求函数在t为何值时函数有最小值 第22讲 要点探究 第22讲 要点探究 第22讲 要点探究 探究点3正弦定理和余弦定理解三角形 第22讲 要点探究 第22讲 要点探究 答案 1 d 2 a 第22讲 要点探究 第22讲 要点探究 第22讲 要点探究 变式题 第22讲 要点探究 第22讲 要点探究 第22讲 要点探究 探究点4三角形形状的判断 4 2010 辽宁卷 在 abc中 a b c分别为内角a b c的对边 且2asina 2b c sinb 2c b sinc 1 求a的大小 2 若sinb sinc 1 试判断 abc的形状 第22讲 要点探究 第22讲 要点探究 思略 1 根据已知2asina 2b c sinb 2c b sinc的特点 可以使用正弦定理实现角的三角函数向边的转化 也可以实现边的关系向角的三角函数的转化 如果用这个转化则就是sin2a sin2b sin2c sinbsinc 这个关系和a2 b2 c2 bc是等价的 很显然根据余弦定理即可求出a的余弦 进而求出a的大小 2 在角a已知的情况下 根据三角形内角和定理 方程sinb sinc 1可以化为只含有一个角的三角函数的方程 通过这个方程求出这个角即可知道三角形的三个内角 进而判断出三角形的形状 第22讲 要点探究 第22讲 要点探究 第22讲 要点探究 变式题 1在 abc中 a b c所对的边分别为a b c 若a b c成等差数列 且2cos2b 8cosb 5 0 求角b的大小并判断 abc的形状 思路 根据方程2cos2b 8cosb 5 0即可求出b的余弦值 进而确定b的大小 在b已知的情况下结合a c 2b和余弦定理 即可确定边a c的关系 根据两边和其夹角即可确定这个三角形的形状 第22讲 要点探究 第22讲 要点探究 变式题 2在 abc中 若acosa bcosb 判断 abc的形状 思路 根据正弦定理求解 规律总结 第22讲 规律总结 1 正弦定理和余弦定理揭示了三角形边和角之间的关系 根据这两个定理和三角形内角和定理 可以由三角形中的三个元素 至少有一个边 求解另外的三个元素 2 正弦定理和余弦定理本身就是一个联系三角形边角关系的方程 在解题中要根据已知和求解目标 把问题纳入含有已知和求解目标的方程中 通过方程解决问题 3 在求解角的问题中不一定要知道三角形的具体的边长 只要能求出其中的一些比例关系即可根据正弦定理或者余弦定理求解这个角的正弦值或者余弦值 从而求出这个角 第22讲 规律总结 4 在三角形中大边对应大角 即a b a b 这个关系等价于sina sinb a b 在解三角形时