电力系统谐波分析的高精度FFT算法.doc

电力系统谐波分析的高精度FFT算法本文由xutao0811贡献 pdf文档可能在WAP端浏览体验不佳。建议您优先选择TXT，或下载源文件到本机查看。 第 19 卷 第 3 期 1999 年 3 月 中国电机工程学报 P roceedings of the CSEE V o l 19 N o. 3 . M a r. 1999 电力系统谐波分析的高精度 FFT 算法 张伏生 耿中行 FFT AL GO R ITHM W ITH H IGH ACCURACY FO R HARMO N IC ANALY S IS IN POW ER SY STEM Zhang Fu sheng X ian J iao tong U n iversity X ian, 710049 Ch ina Geng Zhongx ing Research Center fo r A viation Engineering and T echno logy, B eijing 100076 Ch ina Ge Yaozhong X ian J iao tong U n iversity X ian, 710049 Ch ina 葛耀中 西安交通大学电力工程系, 710049 西安 空军装备技术部第一研究所, 100076 北京 西安交通大学电力工程系, 710049 西安 ABSTRACT T he FFT ha s a h igher erro r in the ha rm on ic ana lysis of the electric pow er system , esp ecia lly fo r the . p ha ses T h is p ap er discu ssed the leakage of FFT and p re2 sen ted a new am ending a lgo rithm , po ly - co sin w indow in 2 terpo la tion, w h ich ba sed on the in terpo la ting a lgo rithm p ro 2 po sed by K. J a in and T. G randke. T h is new a lgo rithm ob 2 viou sly i p roves the accu racy of the FFT , so it can be ap 2 m p lied to the p recision ana lysis fo r electrica l ha rm on ic. T he si u la ting resu lt show s tha t app lying deferen t w indow s ha s m the deferen t effects to the accu racy, and the B lackm an H a rris w indow ha s the h ighest accu racy. KEY WO RD S Fou rier tran sfo rm E lectric pow er system H a rm on ic 摘要快速傅立叶变换存在较大的误差, 无法直接用于电力 系统谐波分析。 本文对 FFT 的泄漏误差进行了分析, 根据 J a in 和 G randke 提出的插值算法提出了多项余弦窗插值的 新算法, 对 FFT 的结果进行修正, 极大地提高了计算精度, 使之适用于电力系统的准确谐波分析。 文中给出了该算法进 行谐波分析模拟计算的算例, 计算结果表明, 不同的加窗算 法计算精度不同, 新算法的计算精度显著提高。 关键词傅立叶变换电力系统谐波 中图分类号TM 714 1引言 近年来, 随着电力电子技术的广泛应用, 电力系 统谐波污染日益严重, 已成为影响电能质量的公害, 对电力系统的安全、 经济运行造成极大的影响。 所以 对电网中的谐波含量进行实时测量, 确切掌握电网 中谐波的实际状况, 对于防止谐波危害, 维护电网的 安全运行是十分必要的。 电力系统的谐波分析, 通常都是通过快速傅立 叶变换 ( FFT ) 实现的。 然而 FFT 存在栅栏效应和泄 漏现象, 使算出的信号参数即频率、 幅值和相位不 准, 尤其是相位误差很大, 无法满足准确的谐波测量 要求。 为了提高 FFT 算法的精度, V. K. J a in 等提出 了一种插值算法, 对 FFT 的计算结果进行修正, 可 以有效地提高计算精度。 在此基础上, T. G randke ( 3) x m ( t) = x m ( t) w T ( t) x m ( t ) 的傅立叶变换为 x m ( ) = A m 2 m ( ) , 即在 ? 又利用海宁 ( H an ing ) 窗减少泄漏, 进一步提高了计 算精度。 海宁窗 w (n ) = 0. 5- 0. 5co s ( 2 N ) 是一种余 n 弦窗, 它仅包括两项。 如果增加余弦项的项数, 可进 提高相位计算的精度更为明显。 一步减少泄漏。 本文分析了多项余弦窗的特性, 并提 出了对加窗后信号进行插值的算法。 该算法能极大 地提高 FFT 计算的精度, 从而满足谐波测量中对谐 波参数的精度要求。 文中给出了计算实例, 实例表明 该算法具有很高的计算精度, 即使对于幅值很小的 偶次谐波也能准确地求出其各项参数, 尤其是对于 2离散傅立叶变换的泄漏与栅栏效应 在谐波测量中, 所要处理的信号均是经过采样 和 A D 转换得到的数字信号。设待测信号为 x ( t) , 采样间隔为 ? t 秒, 采样频率 f s = 1 ? t 满足采样定 理, 即 f s 大于信号最高频率分量的两倍。 则采样信 号为 x n = x ( n ? t ) , 并且采样信号总是有限长度 的, 即 n = 0, 1, , N - 1。 也就是说, 所分析的信号 的持续时间为 T = N ? t, 这相当于对无限长的信号 做了截断, 因而造成离散傅立叶变换的泄漏现象。 矩形窗为 持续时间为 T 的信号相当于 x m 与 w T 的乘积 m 处有一条单一的谱线。 矩形窗的傅立叶变换为 设信号为单一频率信号 m j t x m ( t) = A e m w T ( t) = ( 1) 1; 0; 0 tT 其余 ( 2) 64 中国电机工程学报 第 19 卷 T ) 2 T ) ( 4) W T ( ) = exp ( - j 2 2 根据傅立叶变换的乘积定理, x m ( t) 的傅立叶变换为 x m ( ) 和 W T ( ) 的卷积 sin ( x m ( ) = 2 m W A 率, D FT 也不可能求出信号的准确参数, 这一现象 通常叫做栅栏效应。 插值算法可以消除栅栏效应引起的误差, 而谐 波间的泄漏引起的误差则需用加窗的方法来消除。 - m T) - m 2 = 2 m A exp ( - j T ) ( 5) - m 2 2 若不计相位的变化, x m ( ) 的幅值如图 1 所示。 可以看出 x m ( ) 已不再是单一的谱线, 而是分布在 整个频率轴上, 这就是说能量不再集中, 即产生了泄 漏现象。 谐波分析中, 各次谐波所泄漏的能量会相互 影响, 造成误差。 sin ( 图 1泄漏的产生 F ig. 1The leakage of spectrum T 对于离散傅立叶变换 (D FT ) 来说, 从频率的离 散化得到 1 ( 6) x m n = x m ( n ?) T 式中?= 2 T 。 离散化的频谱如图 2 所示。 图 2x (n ) 的离散频谱 F ig. 2The d iscrete spectrum of x (n ) 从图 2 可以看出, 如果不是整周期采样, 即信号 m 不是 ? 的整倍数, 那么即使信号只含有单一频 ( - ) ?m ( ) d 3余弦窗的特性 余弦窗的一般表达式为 w k (n ) = K 式中K 是余弦窗的项数。 K = 0 时, 就是矩形窗。 为了满足插值计算的需要, 对系数 a k 有如下限制 6 a k = 1 k= 0 k k= 0 k 图 3窗函数的对数频谱 F ig. 3The logar ithm spectrum of the w indow function s 设幅值为 1 的矩形窗为 w 0 ( n ) = 1, n = 0, 1, , N - 1, 它的离散傅立叶变换 D FT 称为狄里克来核 (D irich let ) N - 1 sin ( ) - j N ) ) ( 9) W 0 ( = D ( = e ) N sin ( N 表示为狄里克来核的代数和 ) W k ( = 不同 K 值和系数 a k 决定了不同的窗, K = 1 时, a 0 = 0. 54, a 1 = 0. 46, 为哈明窗, a 0 = a 1 = 0. 5 为 海宁窗; K = 2, a 0 = 0. 42, a 1 = 0. 50, a 2 = 0. 08 时为 布莱克曼窗。 图 3 给出了 K = 0、 3 时窗的对数频谱。可以 、 看出, 当 K 增大时, 旁瓣衰减增大, 因而能够更好地 抑制泄漏, 同时也可看到主瓣宽度随 K 值而增加, 因而 K 值也不宜选得太大。 选用余弦窗的一个主要原因在于它便于进行频 6 ( - 1) k a k = 0 余弦窗的特点是它的 D FT 表达式很简单, 可以 6 k= 0 ( - 1) k a k co s ( N 6 k k= 0 ( - 1) k ak 2 2 kn ) , n = 0, 1, , N - 1 ( 7) ( 8a ) ( 8b) D ( k ) + D ( k ) + ( 10) 第 3 期 张伏生等: 电力系统谐波分析的高精度 FFT 算法 65 谱计算。通常信号加窗都是在时域进行的, 即 x w ( t) = x ( t )w ( t) , 然后进行傅立叶变换。而对于余弦窗, 可以 先对信号进行傅立叶变换, 然后在频域进行处理。设离 ) 散信号 x ( n ) 的频谱为 X ( , 则由公式 ( 10) 可以得出 这一特点便于我们导出下面的插值方法。 = 从而可求出 = ) X w ( = 4插值方法 为简便起见, 设采样间隔 ? t = 1, D FT 的频率分 辨率 ? f = 1 T = 1 ( ? t?N ) = 1 N 。 对于单一频率信 号 ) 可以得出 x m ( = 对于离散频谱, 仅能取 0 N - 1 之间的整数 值。设 f m 在频率 l? f 和 ( l + 1) ? f 之间, l 为整数, 即 ) ( 14) f m = ( l + ? f 0 1 则当 0. 5 时, X ( l ) 取得极大值; 当 0. 5 时, X ( l + 1) 取得极大值, 并且由 ( 13) 式得到 ) ( 15) X m ( l + n ) = A mD ( n - , n 为整数 X mw ( l + n ) = A m 此式代入 ( 11) , 得到加窗信号的频谱在整数采样点的 数值为 设定如下系数 式中X mw 因此可以做以下近似 sin ( N 利用公式 ( 16) 和 ( 17) , 即可求出 K 值时插值点的准确 的 值。 将 代入公式 ( 14) , 即可得到准确的频率 f m 。 将 代入公式 ( 16) , 即可得到准确的复振幅 A m , 从而求出 准确的幅值 A m 和相位 。 m x m ( t) = A m e j2f m t N - 1 = 5插值公式 当 K = 0 时, 由于窗系数 a k 不满足公式 ( 8b ) , 我 们须对公式 ( 17) 做些修正, 令 由于通常 N 都取得较大 (N 1024) , 而且 1, 下面讨论 K = 0, , 3 时的插值公式。 ) 和 co s 1 N N 6 K k= 0 ( - 1) k ak 2 X mw ( l ) ( 17) X mw ( l + 1) ( l ) 和 X mw ( l + 1) 是相邻的两个峰值点。 ) D (n + k - 6 n= 0 x m (n ) e 6 K k= 0 X ( k ) + X ( k ) + ( - 1) k 2 - j n N ( 11) ( 12) ( 13) ak 2 ) D ( n - k - + ( 16) 1+ 频率仍用 ( 14) 式, 幅值用 ( 16) 式得到 A m = 相位计算可用下式 N - 1 = p hase X m ( l ) m + N 2 当 K = 1 时, 选用海宁窗, 可以算出 = 代入公式 ( 16) 可以得出复幅值 A m= 相位用复幅值 A m 算出 = a rctan m I (A m ) m R e (A m ) 当 K = 2 时, 选用布莱克曼窗, 可以得到 = - 3 ( 1) 2 - 28 ( 2) + ( 25) 2 ( 3 - 28) ( 3) 求出 在 0 和 1 之间的根后, 利用 ( 14 ) 式可算出频 率 f m , 利用公式 ( 16 ) 可算出幅值 A m , 并利用公式 ( 24) 计算相位 。 m 当 K = 3 时, 选用布莱克曼- 哈里斯窗, 可以得 到 2 4 = - - 12. 914+ 1. 223 ( - 1 ) - 0. 2836 ( 1 ) 其余参数计算过程同上。 6模拟分析结果 加窗插值方法具有很高的精度, 尤其是在以下 两个方面: 一是对于相位的计算。 FFT 所算出的相 位误差很大, 根本无法用于谐波分析。 而该方法使相 位精度得到显著提高, 因而使得谐波分析、 阻抗计算 有了切实的依据。 二是能够有效地抑制谐波之间, 或 杂波及噪声的干扰。 即使对于幅值较小的偶次谐波, 在 FFT 中经常被大幅值奇次谐波的泄漏所淹没, 该 方法也能准确地算出其各项参数。 以下提供一组计算实例, 信号幅值为电力系统 实测谐波参数, 相位参数为自拟, 基波为 50H z 工 频, 采样频率为 3000H z, 数据长度为 1024 采样点: 4 2 ( 3) ( 0. 2836 - 1. 223 + 12. 914) ( 4) + - 2 2 ( 1- ) j e X m ( l) sin ( ) 2 1 1 + X m ( l) X m ( l + 1) N ( 18) ( 19) 2 X m ( l) sin ( ) ( 20) ( 21) ( 22) ( 23) ( 24) ( 26) 66 中国电机工程学报 表 1谐波信号参数 . Tab 1Param eters of harm on ic signa l 第 19 卷 谐波 f k 基波 二次 三次 四次 五次 六次 七次 八次 九次 十次 十一次 0 3 . 0 0. 6 100 80 - 7结论 本文提出的高精度 FFT 算法应用于谐波测量, 十分有效地提高了测量精度, 这对电力系统中的谐 波管理与治理是很有必要的。 采用加窗插值方法对 FFT 进行修正, 减少了泄漏, 有效地抑制了谐波之 间, 或杂波及噪声的干扰, 从而可以精确测量到各次 谐波电压和电流的幅值及相位, 并计算得到谐波功 率、 谐波功率流向和谐波阻抗。 基于该算法的电力系 统谐波测量软件经模拟实验, 结果十分理想。 幅值 A k 240 0. 1 12 0. 1 2. 7 0. 05 2. 1 0 相位 0 10 20 30 40 50 60 k 为节省篇幅, 表 2 仅列出了用 FFT 算法及用海 宁窗 ( K = 1) 和布莱克曼2哈里斯窗 ( K = 3) 时的计算 结果, 图 4 给出了计算误差曲线。可以看出 FFT 的 结果误差大, 尤其是相位的计算结果根本是不可用 的。 加窗后精度提高了三、 四个数量级, 而当 K = 3 时精度最高, 尤其是相位计算准确, 完全可以满足电 力系统谐波分析的要求。 x (n ) = 频率 50 FFT K= 1 K= 3 幅值 FFT K= 1 K= 3 相位 FFT K= 1 K= 3 49. 805 50. 000 50. 000 241. 0 237. 843 240. 000 240. 000 0 12. 047 0. 0004 0. 0000 8参考文献 1 J ain V K, Co llin s W L , D avis D C, H igh 2accu racy analog m ea2 su rem en ts via in terpo lated FFT. IEEE T ran s I , 1979, 28: 113 M 6 11 k= 1 k A k sin ( 2 k n + ) f 表 2FFT 算法与加窗插值算法计算结果比较 . Tab 2Com par ison of FFT and w indowed in terpola tion 150 200 202. 148 199. 984 199. 998 0. 1 0. 607 0. 100 0. 100 30 197. 951 31. 254 30. 111 250 249. 023 250. 000 250. 000 2. 7 2. 215 2. 700 2. 700 40 111. 765 40. 006 40. 001 350 348. 633 350. 000 350. 000 2. 1 1. 589 2. 100 2. 100 60 154. 132 60. 001 60. 000 450 448. 242 450. 000 450. 000 0. 3 0. 374 0. 300 0. 300 80 204. 725 79. 995 80. 000 550 547. 852 550. 000 550. 000 0. 6 0. 380 0. 600 0. 600 100 225. 310 99. 998 100. 000 100 102. 539 99. 870 99. 987 0. 1 1. 118