【优化方案】高考数学总复习 第4章§4.2平面向量基本定理及向量坐标表示精品课件 理 北师大版.ppt

4 2平面向量基本定理及向量坐标表示 考点探究 挑战高考 考向瞭望 把脉高考 4 2平面向量基本定理及向量坐标表示 双基研习 面对高考 双基研习 面对高考 1 平面向量基本定理及坐标表示 1 平面向量基本定理定理 如果e1 e2是同一平面内的两个 向量 那么对于这一平面内的任一向量a 一对实数 1 2 使a 其中 不共线的向量e1 e2叫作表示这一平面内所有向量的一组 不平行 存在唯一 基底 1e1 2e2 2 平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中 分别取与x轴 y轴方向相同的两个单位向量i j作为基底 对于平面内的一个向量a 有且只有一对实数x y 使a xi yj 把有序数对 叫作向量a的坐标 记作a 其中 叫作a在x轴上的坐标 叫作a在y轴上的坐标 x y x y y x x y 点a 2 平面向量的坐标运算 1 加法 减法 数乘的运算 x2 x1 y2 y1 该向量终点的坐标减去始点的坐标 b x1y2 x2y1 0 提示 不能 因为x2 y2有可能为0 故应表示成x1y2 x2y1 0 思考感悟 1 2009年高考广东卷 已知平面向量a x 1 b x x2 则向量a b a 平行于x轴b 平行于第一 三象限的角平分线c 平行于y轴d 平行于第二 四象限的角平分线解析 选c a b 0 1 x2 平行于y轴 课前热身 2 2009年高考重庆卷 已知向量a 1 1 b 2 x 若a b与4b 2a平行 则实数x的值是 a 2b 0c 1d 2答案 d 答案 c 答案 2或11 考点探究 挑战高考 利用平面向量基本定理表示向量时 要选择一组恰当的基底来表示其他向量 即用特殊向量表示一般向量 答案 x 0且0 x y 1 规律小结 用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功 除利用向量的加减法 数乘运算外 还应充分利用平面几何的一些定理 因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中 选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量 运用向量加减法运算及数乘运算来求解 即充分利用相等向量 相反向量和线段的比例关系 运用加法的三角形法则 平行四边形法则 减法的三角形法则 三角形中位线定理 相似三角形对应边成比例等平面几何的性质 把已知向量转化为与未知向量有直接关系的向量来求解 变式训练1 利用向量的坐标运算解题 主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则 通过列方程 组 进行求解 在将向量用坐标表示时 要分清向量的起点和终点坐标 也就是要注意向量的方向 不要写错坐标 思路点拨 建立直角坐标系 利用向量的坐标运算解答 答案 2 思维总结 向量的坐标运算主要是利用加 减 数乘运算法则进行 若已知有向线段两端点的坐标 则应先求出向量的坐标 解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则 1 凡遇到与平行有关的问题时 一般要考虑运用向量平行的充要条件 2 向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法 也为点共线 线平行问题的处理提供了容易操作的方法 解题时要注意共线向量定理的坐标表示本身具有公式特征 应学会利用这一点来构造函数和方程 以便用函数与方程的思想解题 2010年高考陕西卷 已知向量a 2 1 b 1 m c 1 2 若 a b c 则m 思路点拨 由向量平行的充要条件列出关于m的方程 然后求解 解析 a 2 1 b 1 m a b 1 m 1 a b c c 1 2 1 2 1 m 1 0 m 1 答案 m 1 误区警示 解答本题过程中 易将方程列成 1 1 2 m 1 0即x1x2 y1y2 0而出错 导致此种错误的原因是 没有准确记忆两个向量平行的充要条件 将其与向量垂直的条件混淆 向量的坐标运算常在三角函数 解析几何等知识交汇点处命题 解答这类问题的关键是认真领会题中所给信息 并将所得的信息应用于题目中去 以解决实际问题 已知向量u x y 与向量v y 2y x 的对应关系用v f u 表示 1 设a 1 1 b 1 0 求向量f a 与f b 的坐标 2 求使f c p q p q为常数 的向量c的坐标 3 证明 对任意的向量a b及常数m n 恒有f ma nb mf a nf b 成立 思路点拨 本题关键是找出 函数 v f u 的对应关系 此处的变量为向量的坐标 因此 可通过坐标运算来解决问题 解 1 a 1 1 f a 1 2 1 1 1 1 又 b 1 0 f b 0 2 0 1 0 1 3 证明 设a a1 a2 b b1 b2 则ma nb ma1 nb1 ma2 nb2 f ma nb ma2 nb2 2ma2 2nb2 ma1 nb1 mf a m a2 2a2 a1 nf b n b2 2b2 b1 mf a nf b ma2 nb2 2ma2 2nb2 ma1 nb1 f ma nb mf a nf b 成立 方法技巧1 用向量解答几何问题的一般思路是 选择一组基底 运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量形式 再通过向量的运算来解答 如例1 2 向量的坐标运算 使得向量的线性运算都可用坐标来进行 实现了向量运算完全代数化 将数与形紧密结合起来 就可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算 如例2 方法感悟 3 两个向量共线的充要条件在解题中具有重要的应用 一般地 如果已知两向量共线 求某些参数的值 则利用 若a x1 y1 b x2 y2 则a b的充要条件是x1y2 x2y1 0 比较简捷 如例3 4 对于向量坐标的综合应用 关键是利用已知条件转化为方程或函数关系式解决 如例4 1 数学上的向量是自由向量 向量a x y 经过平移后得到的向量的坐标仍是 x y 2 若a x1 y1 b x2 y2 则a b b 0 的充要条件是a b 这与x1y2 x2y1 0在本质上是没有差异的 只是形式上不同 失误防范 考向瞭望 把脉高考 向量的坐标运算和向量共线的坐标表示是高考的热点 题型既有选择题 填空题 又涉及到解答题 属于中低档题目 常与向量数量积运算交汇命题 主要考查向量的坐标运算及向量共线条件的应用 同时又注重对函数与方程 化归与转化等思想方法的考查 预测2012年高考仍将以向量的坐标运算 向量共线的坐标表示为主要考点 重点考查运算能力与应用能力 2009年高考广东卷 若平面向量a b满足 a b 1 a b平行于x轴 b 2 1 则a 思路点拨 利用a b平行于x轴 设出a b的坐标 利用向量的坐标运算并分类讨论 命题探源 解析 a b平行于x轴 故可设a b m 0 由 a b 1 m2 1 故m 1 当m 1时 a 1 0 b 1 0 2 1 1 1 当m 1时 a 1 0 b 1 0 2 1 3 1 a 1 1 或 3 1 答案 1 1 或 3 1 名师点评 1 本题易失误的是 模的坐标运算不知 不能将模的关系转化为坐标关系 不理解向量与x轴平行的含义 2 在解决向量问题时 如果没有向量的坐标形式 可以引入坐标使抽象问题具体化 其实 向量的坐标运算是一种把其他运算转化为纯数字运算的有效途径 尤其是碰到几何问题时 一些涉及几何图形的向量试题 由于几何性质不能直接应用而使问题变得复杂难求 如果能建立适当的坐标系 用代数式表示图形的性质 即图形数字化 以 数 解 形 可使解题思路清晰 便于问题顺利解决 实际上 利用向量的坐标运算解题 主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则 通过列方程 组 进行求解 在将向量用坐标表示时 要看准向量的起点和终点 也就是要注意向量的方向 名师预测 2 已知向量a 1 2 b 2 m 且a b 则2a 3b等于 a 2 4 b 3 6 c 4 8 d 5 10 解析 选c a b m 4 0 m 4 b 2 4 2a 3b 2 1 2 3 2 4 2 4 6