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第三章 数列 3 3等比数列 第三课时 题型4倒序相加法求和 1 求值 解 得所以点评 运用倒序相加法的主要依据是和式中两项为一组的和相等 本题用倒序相加法的背景是组合数所具备的两个重要性质 和从而倒序相加后和得以求出 已知数列 an 的前n项和sn n 1 2n 1 是否存在等差数列 bn 使an b1cn1 b2cn2 bncnn对一切正整数n均成立 解 当n 1时 a1 s1 1 当n 2时 an sn sn 1 n 1 2n 1 n 2 2n 1 1 2n 1 2n 2 n 2 n 2n 1 因a1 1满足n 2时an的表达式 所以an n 2n 1 n n 假设存在等差数列 bn 满足条件 设b0 0 且 bn n n 仍为等差数列 则倒序 得相加得所以an bn 2n 1 与an n 2n 1 比较得bn n 故存在等差数列 bn 其通项公式为bn n 使题中结论成立 2 已知数列 an 的通项公式an 1 n 2n 1 求前n项和sn 解 1 当n为偶数时 sn 1 3 5 7 2n 3 2n 1 2 2 2 n 2 当n为奇数时 n 1为偶数 sn sn 1 an n 1 2n 1 n 所以sn 1 n n 点评 如果和式的项的符号与项数有关 则需根据所求项数是奇数 还是偶数进行分类讨论 题型5并项求和法 数列 an 的通项an 其前n项和为sn 求 1 a3k 2 a3k 1 a3k k n 2 求sn 3 bn 求数列 bn 的前n项和tn 解 1 由于故a3k 2 a3k 1 a3k 拓展练习 2 故 3 由 2 知 则两式相减得故 数列 an 中 a1 1 且an an 1 4n 求其前n项和sn 解 依题意得 由于a1 0 故由 得an 2an 4 所以a1 a3 a5 a2n 1 a2 a4 a6 a2n 都是公比为4的等比数列 因为a1 1 所以a2 4 q 4 1 当n为奇数时 2 当n为偶数时 1 对于组合数型的数列求和常用倒序相加法 注意应用恒等式 2 在求sn的过程中 先从n为偶数入手
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