【走向高考】高三数学一轮复习 76直接证明与间接证明课件 北师大版.ppt

考纲解读1 了解直接证明的两种基本方法 分析法和综合法 了解分析法和综合法的思考过程 特点 2 了解间接证明的一种基本方法 反证法 了解反证法的思考过程 特点 考向预测1 本节主要考查对综合法和分析法的理解和简单的应用 反证法一般不会单独命题 2 综合法和分析法在历年高考中均有体现 成为高考的重点和热点之一 选择题 填空题的形式较少 主要是综合法 分析法的思想渗透到解答题中 知识梳理1 直接证明是从命题的条件或结论出发 根据已知的定义 公理 定理 法则等 直接推证结论的真实性 2 综合法从命题的条件出发 利用定义 公理 定理及运算法则 通过演绎推理 一步一步地接近要证明的结论 直到完成命题的证明 把这样一种思维方法称为综合法 综合法是一种的证明方法 由因导果 综合法的证明步骤用符号表示是 p0 已知 p1 p2 pn 结论 3 分析法从求证的结论出发 一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件 直到归结为这个命题的条件 或者归结为定义 公理定理等 把这种思维方法称为分析法 分析法是一种的证明方法 用分析法证明的逻辑关系是 b 结论 b1 b2 bn a 已知 执果索因 分析法的特点是 从 未知 看需知 逐步靠拢 已知 其每步推理都是寻求使每一步结论成立的充分条件 直到最后把要证明的结论归纳为判定一个明显成立的条件为止 综合法的特点是 从 已知 看 可知 逐步推向 未知 其每步推理都是寻找使每一步结论成立的必要条件 4 反证法在证明数学命题时 要证明的结论要么正确 要么错误 二者必居其一 我们可以先假定命题结论的反面成立 在这个前提下 若推出的结果与定义公理 定理矛盾 或与命题中的已知条件相矛盾 或与假定相矛盾 从而断定命题结论的反面不可能成立 由此断定命题的结论成立 这种证明方法叫作反证法 数学中的命题 都有题设条件和结论两部分 反证法是从否定这个命题的结论出发 通过正确 严密的逻辑推理 由此引出一个新的结论 而这个新结论与已知矛盾 得出结论的反面不正确 从而肯定原结论是正确的一种间接证明方法 应用反证法证明数学命题的一般步骤 1 2 3 作出否定结论的假设 进行推理 导出矛盾 否定假设 肯定结论 答案 b 答案 a 3 用反证法证明命题 三角形的内角中至少有一个不大于60 时 假设正确的是 a 假设三内角都不大于60 b 假设三内角都大于60 c 假设三内角至多有一个大于60 d 假设三内角至多有两个大于60 答案 b 解析 至少有一个不大于60 的反面是都大于60 答案 c 答案 p q r 答案 9 分析 从已知条件和已知不等式入手 推出所要证明的结论 点评 综合法从正确地选择已知其为正确的命题出发 依次推出一系列的真命题 最后达到我们所要证明的结论 在用综合法论证命题时 必须首先找到正确的出发点 也就是能够想到从哪里起步 我们一般地处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质 逐层递进 步步为营 由已知逐渐地引导出结论 已知a b c为互不相等的实数 求证 a4 b4 c4 abc a b c 分析 从已知不等式a2 b2 2ab出发 一步步由因到果直至推出要证的结论 证明 a4 b4 2a2b2 b4 c4 2b2c2 c4 a4 2a2c2 又a b c互不相等 上面三式中至少有一个式子不能取 号 a4 b4 c4 a2b2 b2c2 c2a2 a2 b2 2ab a2c2 b2c2 2abc2 同理a2b2 a2c2 2a2bc b2c2 b2a2 2ab2c a2b2 b2c2 c2a2 abc2 a2bc ab2c 由 得a4 b4 c4 abc a b c 点评 1 综合法也是中学数学证明中常用的一种方法 它是一种从已知到未知 从题设到结论 的逻辑推理方法 即从题设中的已知条件或已证的真实判断 命题 出发 经过一系列的中间推理 最后导出所要求证结论的真实性 简言之 综合法是一种由因索果的证明方法 其逻辑依据也是三段论式的演绎推理方法 点评 当要证的不等式较复杂 两端差异难以消除或者已知条件信息量太少 已知与待证间的联系不明显时 一般可采用分析法 分析法是步步寻求不等式成立的充分条件 而实际操作时往往是先从要证的不等式出发 寻找使不等式成立的必要条件 再考虑这个必要条件是否充分 这种 逆求 过程 能培养学生的发散思维能力 也是分析问题 解决问题时常用的思考方法 例3 已知a b c 0 求证 ab bc ca 0 点评 一题多解可培养发散思维能力 很多问题往往是用分析法寻找解题思路 用综合法写出解题过程 要善于利用这种良好的思维习惯培养自己发现问题 分析问题 解决问题的能力 点评 对于较复杂的不等式 直接运用综合法往往不易入手 因此 通常用分析法探索证题途径 然后用综合法加以证明 所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的 分析法的特点可描述为 执果索因 即从 未知 看 需知 逐步靠拢 已知 分析法的优点是利于思考 因为它方向明确 思路自然 易于掌握 而综合法的优点是易于表述 条理清晰 形式简洁 分析 已知条件较少 结论反而有三种情况 故联想到从结论的反面入手较易 即使用反证法 点评 结论若是 都是 都不是 至多 至少 形式的不等式 或直接从正面入手难以寻觅解题突破口的问题 宜考虑使用反证法 用反证法证明不等式若p 0 q2 即p 2 q p3 2 q 3 8 12q 6q2 q3 即8 12q 6q2 q3 p3 0 6 12q 6q2 0 那么q2 2q 1 0 q 1 2 0与 q 1 2 0相矛盾 故假设不成立 p q 2 点评 条件与结论之间的因果关系不是很明显 直接证明无从着手 可考虑使用反证法 反证法是常用的一种重要的思维方式和数学方法 在平面几何 不等式及立体几何中有着广泛的应用 1 关于综合法与分析法分析法的特点 从 未知 看 需知 逐步靠拢 已知 其逐步推理 实际上是要寻找它的充分条件 综合法的特点 从 已知 看 可知 逐步推向 未知 其逐步推理 实际上是寻找它的必要条件 从而看出 分析法与综合法是两种思路截然相反的证明方法 既对立又统一 用综合法证题前往往用分析法寻找解题思路 即所谓的 分析 因此 分析法即可用于寻找解题思路 也可以是完整的证明过程 并且在解决较复杂问题时 往往是分析法与综合法相互结合使用 2 关于反证法 1 用反证法证明问题的一般步骤 反设 假定所要证的结论不成立 而设结论的反面 否定命题 成立 否定结论 归谬 将 反设 作为条件 由此出发经过正确的推理 导出矛盾 与已知条件 已知公理 定义 定理及明显的事实矛盾或自相矛盾 推导矛盾 结论 因为推理正确 所以产生矛盾的原因在于 反设 的谬误 既然结论的反面不成立 从而肯定了结论成立 2 用反证法证明问题时要注意以下三点 必须先否定结论 即肯定结论的反面 当结论的反面呈现多样性时 必须罗列出各种可能结论 缺少任何一种可能 反证都是不完全的 反证法必须从否定结论进行推理 即应把结论的反面作为条件 且必须根据这一条件进行推证 否则 仅否定结论 不从结论的反面出发进行推理 就不是反证法 推导出的矛盾可能多种多样 有的与已知矛盾 有的与假设矛盾 有的与事实矛盾等 推导出的矛盾必须是明显的 3 反证法主要适用于以下