【优化方案】高考数学总复习 第2章§2.7二次函数、幂函数精品课件 理 北师大版.ppt

2 7二次函数 幂函数 考向瞭望 把脉高考 2 7二次函数 幂函数 考向瞭望 把脉高考 考点探究 挑战高考 考向瞭望 把脉高考 双基研习 面对高考 双基研习 面对高考 1 二次函数的三种表示形式 1 一般式 2 顶点式 若二次函数图像的顶点坐标为 k h 则其解析式为f x 3 两根式 若二次函数图像与x轴的交点坐标为 x1 0 x2 0 则其解析式为f x f x ax2 bx c a 0 a x k 2 h a 0 a x x1 x x2 a 0 2 二次函数的图像和性质 r r 单调递增 偶函数 思考感悟二次函数y ax2 bx c a 0 中的a b c对其图像的性质有何作用 提示 a决定开口方向 a与b决定对称轴位置 c决定图像与y轴的交点位置 a b c决定图像的顶点 3 简单的幂函数函数 叫作幂函数 其中x是自变量 是常数 y x 1 若二次函数f x 满足f x 1 f x 2x 且f 0 1 则f x 的表达式为 a f x x2 x 1b f x x2 x 1c f x x2 x 1d f x x2 x 1答案 d 2 若函数f x x2 2 a 1 x 2在区间 4 上是减函数 那么实数a的取值范围是 a a 3b a 3c a 5d a 3答案 b 3 给出命题 若函数y f x 是幂函数 则函数y f x 的图像不过第四象限 在它的逆命题 否命题 逆否命题三个命题中 真命题的个数是 a 3b 2c 1d 0答案 c 4 教材习题改编 将二次函数y 2x2的图像平行移动 顶点移到 3 2 则二次函数解析式为 答案 y 2x2 12x 16 答案 4 考点探究 挑战高考 利用已知条件求二次函数解析式 常用的方法是待定系数法 但可根据不同的条件选用适当形式求f x 解析式 1 已知三个点坐标时 宜用一般式 2 已知抛物线的顶点坐标与对称轴有关或与最大 小 值有关时 常使用顶点式 3 若已知抛物线与x轴有两个交点 且横轴坐标已知时 选用两根式求f x 更方便 名师点评 一般式在任何题目中都适用 其缺点是设的字母较多 容易引起混乱 顶点式一般需要先知道二次函数图像的顶点坐标 而两根式则需要先知道图像与x y轴的交点坐标 在解题时 遵循的原则是出现字母越少越好 但不管用什么方法求解 都需要三个独立的条件 幂函数是指形如y x r 的函数 它的形式非常严格 必须完全具备这种形式的函数才是幂函数 幂函数的图像和性质与幂指数 有关 当 0时 图像过原点 且在 0 上为增函数 当 0时 图像不过原点 且在 0 上为减函数 思路点拨 1 利用幂函数的性质对m进行求解 2 将f x 代入f x 后利用奇偶性的定义判断 解 1 f x 是偶函数 m2 2m 3是偶数 又在 0 上是减函数 m2 2m 3 0 即 1 m 3 m z m 0 1 2 当m 0时 m2 2m 3 3不是偶数 舍去 当m 1时 m2 2m 3 4为偶数 符合题意 当m 2时 m2 2m 3 3不是偶数 舍去 m 1 故f x x 4 当a 0 b 0时 f x 为非奇非偶函数 当a 0 b 0时 f x 为奇函数 当a 0 b 0时 f x 为偶函数 当a 0 b 0时 f x 既是奇函数又是偶函数 失误点评 本题易忽视m z而出现无法求出f x 的解析式的情况 分别作出它们的图像如图所示 由图像可知 当x 0 1 时 f x g x 当x 1时 f x g x 当x 0 1 时 f x g x 二次函数在闭区间上的最大值和最小值只能在区间端点或二次函数图像的顶点处取得 因此 求二次函数的最值必须认清定义域区间与对称轴的相对位置以及抛物线的开口方向 然后借助于二次函数的图像或性质求解 显然 定义域 对称轴及二次项系数是求二次函数最值的三要素 函数f x x2 4x 4在闭区间 t t 1 t r 上的最小值记为g t 1 试写出g t 的函数表达式 2 作g t 的图像并写出g t 的最小值 思路点拨 所求二次函数解析式固定 区间变动 可考虑区间在变动过程中二次函数的单调性 从而利用二次函数的单调性求函数在区间上的最值 解 1 f x x2 4x 4 x 2 2 8 当t 2时 f x 在 t t 1 上是增函数 g t f t t2 4t 4 当t 2 t 1 即1 t 2时 g t f 2 8 当t 1 2 即t 1时 f x 在 t t 1 上是减函数 g t f t 1 t2 2t 7 互动探究2 已知函数f x x2 2ax 2 求f x 在 5 5 上的最大值 如何解答 解 f x x2 2ax 2 x 5 5 对称轴x a 1 当 a5时 函数f x 在 5 5 上单调递增 如图1 故f x max f 5 52 2a 5 2 27 10a 2 当 5 a 0 即0 a 5时 如图2 故f x max f 5 52 2a 5 2 27 10a 3 当0 a 5 即 5 a 0时 如图3 故f x max f 5 5 2 2a 5 2 27 10a 4 当 a 5 即a 5时 如图4 f x max f 5 27 10a 方法技巧1 二次函数的解析式有三种形式 一般式 顶点式和两根式 根据已知条件灵活选用 如例1 2 二次函数的单调性只与对称轴和开口方向有关系 因此单调性的判断通常用数形结合法来判断 如例3 3 幂函数y x r 其中 为常数 其本质特征是以幂的底x为自变量 指数 为常数 这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准 应当注意并不是任意的一次函数 二次函数都是幂函数 如y x 1 y x2 2x等都不是幂函数 如例2 4 在 0 1 上 幂函数中指数愈大 函数图像愈靠近x轴 简记为 指大图低 在 1 上 幂函数中指数越大 函数图像越远离x轴 5 求二次函数在给定区间上的最值 值域 其关键是判断二次函数图像顶点的横坐标 或对称轴 与所给区间的关系 然后结合二次函数的图像 利用数形结合的思想来解决问题 如例3 失误防范1 幂函数的图像一定会出现在第一象限内 一定不会出现在第四象限内 至于是否出现在第二 三象限内 要看函数的奇偶性 幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限内 如果幂函数图像与坐标轴相交 则交点一定是原点 2 幂函数的定义域的求法可分5种情况 为零 为正整数 为负整数 为正分数 为负分数 3 作幂函数的图像要联系函数的定义域 值域 单调性 奇偶性等 只要作出幂函数在第一象限内的图像 然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义域内完整的图像 4 利用幂函数的图像和性质可处理比较大小 判断复合函数的单调性及在实际问题中的应用等类型 进一步培养学生的数形结合 分类讨论等数学思想和方法 考向瞭望 把脉高考 本节主要考查二次函数图像的应用 二次函数的单调区间 二次函数在给定区间上的最值以及与此有关的参数问题 幂函数的图像及性质等 其中二次函数图像的应用与其最值问题是高考的热点 题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现 预测在2012年高考中以二次函数为命题落脚点的题目仍将是一个热点 重点考查数形结合与等价转化两种数学思想 答案 c 名师点评 1 本题易出现以下失误 解题方向不明确 简单问题复杂化 如将a换底为以10为底的对数 比较大小时不会寻找合适的 中间量 2 这类题目各版本的课本中都有出现 如北师版第126 127页均有 只是考题对其作了变化 使得考题增加了能力的成份且综合性更强 3 比较两个幂值和两个对数值大小的方法 若是两个幂值的大小的比较 则首先分清底数相同还是指数相同 如果底数相同 可以利用指数函数的单调性 如果指数相同 可以转化为底数相同 也可以借助图像 如果底数不同 指数也不同 就要利用 中间量 进行比较 若是两个对数值的大小比较 如果底数相同 可以利用对数函数的单调性 如果底数不相同 可以利用换底公式化为同底数的对数 如果底数 真数都不相同 就要注意与0或1或其他 中间量 比较 2 函数f x 4x2 mx 5在区间 2 上是增函数 则f 1 的取值范围是 a f 1 25b f 1 25c f 1 25d f 1 25 4 已知函