黑龙江省大庆市铁人中学高三数学上学期期末试卷 文（含解析）.doc

2015-2016学年黑龙江省大庆市铁人中学高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1若集合a=x|0x2，b=x|x21，则ab=（）ax|0x1bx|x0或x1cx|1x2dx|0x22若复数为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）a2b4c6d63甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为（）abcda啊4已知等比数列an满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）a21b42c63d845设函数f（x）=，则满足f（x）3的x的取值范围是（）a0，+）b1，3c0，3d1，+）6一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）abc6d77过三点a（1，3），b（4，2），c（1，7）的圆交y轴于m，n两点，则|mn|=（）a2b8c4d108当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的s的值为（）a7b42c210d8409在三棱柱abca1b1c1中侧棱垂直于底面，acb=90，bac=30，bc=1，且三棱柱abca1b1c1的体积为3，则三棱柱abca1b1c1的外接球的表面积为（）a16bcd3210函数y=的图象与函数y=2sinx（2x4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）a2b4c6d811已知集合，n=（x，y）|y=kx+b，若kr，使得mn=成立，则实数b的取值范围是（）a3，3b（，3）（3，+）c2，2d（，2）（2，+）12设f（x）=ax2+bx+c（a，b，cr），e为自然对数的底数若f（x）lnx则（）af（2）f（e）ln2，2f（e）f（e2）bf（2）f（e）ln2，2f（e）f（e2）cf（2）f（e）ln2，2f（e）f（e2）df（2）f（e）ln2，2f（e）f（e2）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知向量=（2，3），=（x，6），且，则|+|的值为14若x，y满足，且z=yx的最小值为4，则k的值为15已知双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则其离心率为16已知等差数列an的前n项和为sn，a5=5，s5=15，则数列的前100项和为三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17已知命题p：关于实数x的方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；命题q：关于实数x的方程4x2+4（m2）x+1=0无实根命题“p或q”真，“p且q”假，求实数m的取值范围18如图，在abc中，b=，ab=8，点d在边bc上，且cd=2，cosadc=（1）求sinbad；（2）求bd，ac的长19已知数列an是首项为a1=，公比q=的等比数列，设bn+2=3logan（nn*），数列cn满足cn=anbn（1）求证：bn是等差数列；（2）求数列cn的前n项和sn20如图，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，adab，abdc，ad=dc=ap=2，ab=1，点e为棱pc的中点（）证明：bedc；（）求直线be与平面pbd所成角的正弦值；（）若f为棱pc上一点，满足bfac，求二面角fabp的余弦值21已知椭圆的焦点为f1（1，0），f2（1，0），且经过点（）求椭圆c的方程；（）设过f1的直线l与椭圆c交于a、b两点，问在椭圆c上是否存在一点m，使四边形ambf2为平行四边形，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由22已知函数f（x）=lnx（）求函数f（x）的单调区间；（）设g（x）=x2+2bx4，若对任意x1（0，2），x21，2，不等式f（x1）g（x2） 恒成立，求实数b的取值范围2015-2016学年黑龙江省大庆市铁人中学高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1若集合a=x|0x2，b=x|x21，则ab=（）ax|0x1bx|x0或x1cx|1x2dx|0x2【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】求出集合b中不等式的解集，找出a与b的公共部分即可确定出交集【解答】解：x21解得：x1或x1，b=x|x1或x1，a=x|0x2，ab=x|1x2 故选：c【点评】此题考查了交集及其运算，熟练交集的定义是解本题的关键2若复数为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）a2b4c6d6【考点】复数的基本概念【专题】计算题【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整理成最简形式，根据复数是一个纯虚数，得到复数的实部等于0，而虚部不为0，得到结果【解答】解：若复数为虚数单位）=，复数是一个纯虚数，a6=0，a=6经验证成立，故选d【点评】本题考查复数的基本概念，考查复数的除法运算，考查复数是一个纯虚数，要求实部为零，而虚部不为0，本题是一个基础题3甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为（）abcd【考点】古典概型及其概率计算公式【专题】概率与统计【分析】所有的选法共有33=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，由此求得他们选择相同颜色运动服的概率【解答】解：所有的选法共有33=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有31=3种，故他们选择相同颜色运动服的概率为 p=，故选：a【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键4已知等比数列an满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）a21b42c63d84【考点】等比数列的通项公式【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求【解答】解：a1=3，a1+a3+a5=21，q4+q2+1=7，q4+q26=0，q2=2，a3+a5+a7=3（2+4+8）=42故选：b【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题5设函数f（x）=，则满足f（x）3的x的取值范围是（）a0，+）b1，3c0，3d1，+）【考点】分段函数的应用【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】由分段函数可得或，分别应用指数函数、对数函数的单调性，即可解出不等式，注意最后求并集【解答】解：函数f（x）=，或，或0x1或x1，则x的取值范围是0，+）故选a【点评】本题考查分段函数及应用，考查指数不等式、对数不等式的解法，考查运算能力，属于中档题6一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）abc6d7【考点】由三视图求面积、体积【专题】空间位置关系与距离【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的体积【解答】解：由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为：v正方体2v棱锥侧=故选：a【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状7过三点a（1，3），b（4，2），c（1，7）的圆交y轴于m，n两点，则|mn|=（）a2b8c4d10【考点】两点间的距离公式【专题】计算题；直线与圆【分析】设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0，代入点的坐标，求出d，e，f，令x=0，即可得出结论【解答】解：设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0，则，d=2，e=4，f=20，x2+y22x+4y20=0，令x=0，可得y2+4y20=0，y=22，|mn|=4故选：c【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键8当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的s的值为（）a7b42c210d840【考点】循环结构【专题】计算题；算法和程序框图【分析】算法的功能是求s=76k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出s的值【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求s=76k的值，当m=7，n=3时，mn+1=73+1=5，跳出循环的k值为4，输出s=765=210故选：c【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键9在三棱柱abca1b1c1中侧棱垂直于底面，acb=90，bac=30，bc=1，且三棱柱abca1b1c1的体积为3，则三棱柱abca1b1c1的外接球的表面积为（）a16bcd32【考点】球的体积和表面积；球内接多面体【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】根据棱柱的体积公式求得棱柱的侧棱长，再利用三棱柱的底面是直角三角形可得外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点o，从而求得外接球的半径r，代入球的表面积公式计算【解答】解：三棱柱abca1b1c1中侧棱垂直于底面，设侧棱长为a，又三棱柱的底面为直角三角形，bc=1，bac=30，ac=，ab=2，三棱柱的体积v=a=3，h=2，abc的外接圆半径为ab=1，三棱柱的外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点o，如图：外接球的半径r=2，外接球的表面积s=422=16故选：a【点评】本题考查了求三棱柱的外接球的表面积，利用三棱柱的结构特征求得外接球的半径是关键10函数y=的图象与函数y=2sinx（2x4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）a2b4c6d8【考点】奇偶函数图象的对称性；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象【专题】压轴题；数形结合【分析】的图象由奇函数的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2由此不难得到正确答案【解答】解：函数，y2=2sinx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象如图当1x4时，y10而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在和上是减函数；在和上是增函数函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点e、f、g、h相应地，y1在（2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点a、b、c、d且：xa+xh=xb+xgxc+xf=xd+xe=2，故所求的横坐标之和为8故选d【点评】发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y2=2sinx的单调性找出区间（1，4）上的交点个数是本题的难点所在11已知集合，n=（x，y）|y=kx+b，若kr，使得mn=成立，则实数b的取值范围是（）a3，3b（，3）（3，+）c2，2d（，2）（2，+）【考点】交集及其运算【专题】计算题；集合思想；转化法；集合【分析】集合m椭圆+=1上的点组成的集合，集合n=（x，y）|y=kx+b表示过（0，b）点斜率存在的直线上的点组成的集合，则满足条件的实数b应满足（0，b）点在椭圆外，结合椭圆的性质可得答案【解答】解：集合，表示椭圆+=1上的点组成的集合，集合n=（x，y）|y=kx+b表示过（0，b）点斜率存在的直线上的点组成的集合，若kr，使得mn=成立，则（0，b）点在椭圆+=1外，即1，解得b2或b2，故b（，2）（2，+）故选：d【点评】本题考查的知识点是交集及其运算，椭圆的性质，其中将已知转化为（0，b）点在椭圆外，是解答的关键12设f（x）=ax2+bx+c（a，b，cr），e为自然对数的底数若f（x）lnx则（）af（2）f（e）ln2，2f（e）f（e2）bf（2）f（e）ln2，2f（e）f（e2）cf（2）f（e）ln2，2f（e）f（e2）df（2）f（e）ln2，2f（e）f（e2）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算【专题】导数的概念及应用【分析】先定义新函数f（x）=，对f（x）求导找出单调区间，再判断f（2），f（e），f（e2）的大小【解答】解：由题意得：x（0，+），令函数f（x）=，f（x）=又f（x）lnx，f（x）0，函数f（x）在（0，+）上是增函数，f（e）f（2），即：，f（2）f（e）ln2，f（e）f（e2），即：，2f（2）f（e2）；故答案为：b【点评】本题考察了通过求导的方式求函数的单调区间，在单调区间上判断函数值的大小，本题的关键是引进新函数f（x）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知向量=（2，3），=（x，6），且，则|+|的值为【考点】向量的模；平行向量与共线向量【专题】计算题【分析】利用向量的平行，求出x，然后求出两个向量的和，即可求解模【解答】解：向量=（2，3），=（x，6），且，所以x=4，所以+=（2，3），|+|=，故答案为：【点评】本题是基础题，考查向量的平行与向量的模的求法，考查计算能力14若x，y满足，且z=yx的最小值为4，则k的值为【考点】基本不等式【专题】不等式【分析】由z=yx便得到y=x+z，该式可表示在y轴上的截距为z且平行于y=x的直线，这样根据已知条件即可画出原不等式表示的平面区域，从而确定出直线kxy+2=0的方程，从而求出k【解答】解：z=yx表示在y轴上截距为z且平行于y=x的直线；z取最小值4时，得到直线y=x4；画出直线x+y2=0和y=x4如下图：由题意知，直线z=yx经过原不等式所表示的平面区域的最右端（4，0）点；从而可知原不等式表示的平面区域如上图阴影部分所示；直线kxy+2=0表示在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为2的直线；y=0时，x=4；故答案为：【点评】考查不等式表示一个平面区域，并根据不等式可找出它表示的平面区域，知道z=yx可以看成在y轴上截距为z且平行于直线y=x的直线系15已知双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则其离心率为【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由双曲线的一条渐近线方程为y=2x，知b=2a，由此能求出该双曲线的离心率【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为y=2x，=2，即b=2a，c=，e=故答案为：【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用16已知等差数列an的前n项和为sn，a5=5，s5=15，则数列的前100项和为【考点】数列的求和【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】等差数列an中，由a5=5，s5=15，解得a1=1，d=1，故=，由此利用裂项求和法能够求了数列的前100项和【解答】解：等差数列an中，a5=5，s5=15，解得a1=1，d=1，an=1+（n1）=n，=，数列的前100项和s100=（1）+（）+（）+（）=1=故答案为：【点评】本题考查数列的前100项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等差数列的通项公式和前n项和公式的求法，注意裂项求和法的合理运用三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17已知命题p：关于实数x的方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；命题q：关于实数x的方程4x2+4（m2）x+1=0无实根命题“p或q”真，“p且q”假，求实数m的取值范围【考点】复合命题的真假【专题】简易逻辑【分析】根据条件分别求出命题p，q的等价条件，结合复合命题之间的关系进行求解即可【解答】解：若方程x2+mx+1=0有两不等的负根，则，解得m2即命题p：m2，若方程4x2+4（m2）x+1=0无实根，则=16（m2）216=16（m24m+3）0解得：1m3即命题q：1m3由题意知，命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真或，解得：m3或1m2【点评】本题主要考查复合命题真假之间的关系以及应用，根据条件求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键18如图，在abc中，b=，ab=8，点d在边bc上，且cd=2，cosadc=（1）求sinbad；（2）求bd，ac的长【考点】余弦定理的应用【专题】解三角形【分析】根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论【解答】解：（1）在abc中，cosadc=，sinadc=，则sinbad=sin（adcb）=sinadccosbcosadcsinb=（2）在abd中，由正弦定理得bd=，在abc中，由余弦定理得ac2=ab2+cb22abbccosb=82+5228=49，即ac=7【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大19已知数列an是首项为a1=，公比q=的等比数列，设bn+2=3logan（nn*），数列cn满足cn=anbn（1）求证：bn是等差数列；（2）求数列cn的前n项和sn【考点】等差关系的确定；数列的求和【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）由题意知，所以数列bn是首项b1=1，公差d=3的等差数列（2）由题设条件知，运用错位相减法可求出数列cn的前n项和sn【解答】解：（1）由题意知，数列bn是首项b1=1，公差d=3的等差数列（2）由（1）知，于是两式相减得=【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意错位相减法的应用，仔细解答20如图，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，adab，abdc，ad=dc=ap=2，ab=1，点e为棱pc的中点（）证明：bedc；（）求直线be与平面pbd所成角的正弦值；（）若f为棱pc上一点，满足bfac，求二面角fabp的余弦值【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何【分析】（i）以a为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出be，dc的方向向量，根据=0，可得bedc；（ii）求出平面pbd的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线be与平面pbd所成角的正弦值；（）根据bfac，求出向量的坐标，进而求出平面fab和平面abp的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角fabp的余弦值【解答】证明：（i）pa底面abcd，adab，以a为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，ad=dc=ap=2，ab=1，点e为棱pc的中点b（1，0，0），c（2，2，0），d（0，2，0），p（0，0，2），e（1，1，1）=（0，1，1），=（2，0，0）=0，bedc；（）=（1，2，0），=（1，0，2），设平面pbd的法向量=（x，y，z），由，得，令y=1，则=（2，1，1），则直线be与平面pbd所成角满足：sin=，故直线be与平面pbd所成角的正弦值为（）=（1，2，0），=（2，2，2），=（2，2，0），由f点在棱pc上，设=（2，2，2）（01），故=+=（12，22，2）（01），由bfac，得=2（12）+2（22）=0，解得=，即=（，），设平面fba的法向量为=（a，b，c），由，得令c=1，则=（0，3，1），取平面abp的法向量=（0，1，0），则二面角fabp的平面角满足：cos=，故二面角fabp的余弦值为：【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键21已知椭圆的焦点为f1（1，0），f2（1，0），且经过点（）求椭圆c的方程；（）设过f1的直线l与椭圆c交于a、b两点，问在椭圆c上是否存在一点m，使四边形ambf2为平行四边形，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）由椭圆的焦点为f1（1，0），f2（1，0），且经过点可得，解得即可；（