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14 Legendre函数的性质 2010 6 3 一 Legendre方程的引出 球形域上三维静电场问题中 外电势满足Laplace 例 方程 分析 即 求其分离变量解 求解时常将其写成球坐标形式 设解为 后两项与r无关 于是有 为方便 常把l写成l l 1 于是 1 化为欧拉方程 其通解为 上式可化为 3 并自然周期条件可得 方程 4 整理为 称之为Legendre方程 其中 该方程添加自然边界条件 则 5 变为 此方程称为关联Legendre方程 则F亦然 m 0 此时 6 成为 构成本征值问题 为 其本征值和本征函数 这样在轴对称假设下得到问题的级数解 进一步的求解须知Legendre多项式的性质 后面的讨论中 我们只考虑轴对称问题 二 Legendre多项式的性质 1 Legendre多项式的为微分表示 令 则 因此 即 因此 多项式 2 Legendre多项式的为积分表示 据复变函数中高阶导数公式 可得 L是围绕z x的任一正向闭曲线 特别地 取半径为 的圆周为L 则 由此得 其中 化简得 此式称为Legendre多项式的Laplace积分 由积分表达式可得 3 Legendre多项式的母函数 若一个函数按某一自变量作幂级数展开时 其系数是 例如若 Legendre多项式 则称该函数为Legendre多项式的 母函数 就称f x t 为Legendre多项式的母函数 考虑复变函数 将其展开为 则有 L是区域 t 1内任一正向闭曲线 作变换 L1是L在上述变换下的象 是含点u x的闭曲线 则 根据高阶导数公式 得 因此 母函数 即w x t 为Legendre多项式的 Legendre多项式满足如下递推公式 4 Legendre多项式的递推公式 1 2 3 4 由 两边对t求偏 导数得 整理即得1 偏导数得 于是 因为 故 即2成立 两式相减得 即 此即3 由2 3可得4 一 Legendre多项式的正交归一性 Legendre方程为 写成Sturm Liouviller方程形式为 其特征值 和对应的特征函数分别为 和 因此自然有 两边积分得 利用正交性得 即 而 因此 称之为Legendre多项式的 模方 记作 即 定理 设f x 是 1 1 上的分段光滑的实值函数 且 二 按Legendre多项式作广义傅里叶展开 多项式展开为无穷级数 其中 极限的平均值 在 例1 1 1 内将 按 展开为F L级数 解 设 所以 即 又 因此 计算 例2 解 因 故 由正交性知 而 计算 例3 解 其中 计算 例4 解 利用公式 得 由 可得结果 半径为a的球
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