两条直线的位置关系(1).doc

7.3两条直线的位置关系【教学目的】1熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系 2通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力3通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣重点：两条直线平行和垂直的条件难点：两直线的平行与垂直问题转化与两直线的斜率的关系问题 教学过程：一、复习引入： 直线名称已知条件直线方程使用范围点斜式斜截式两点式（截距式一般式A、B、C二、讲解新课：1、两条直线的平行问题如右图：设直线和的斜率为和，它们的方程分别是：；：如果，且，那么它们的倾斜角相等：即，即=反过来，如果两条直线的斜率相等，即=，那么由于， 180，又，综上：当直线和有斜截式方程：；：时，直线的充要条件是=且注意：（1） 上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立（2） 当直线和的斜率不存在时：两直线的横截距不相等。例题讲解例1、 两条直线： ， ：求证：证法一：因为：，：所以=且，证法二: ，例2、求过点且与直线平行的直线方程解一：已知直线的斜率为，因为所求直线与已知直线平行，因此它的斜率也是。根据点斜式，得到所求直线的方程是 即 解二：设与直线平行的直线的方程为， 经过点， ，解之得 所求直线方程为注意：解法一求直线方程的方法是通法，必须掌握；解法二是常常采用的解题技巧。一般地，直线中系数、确定直线的斜率，因此，与直线平行的直线方程可设为，其中待定（直线系）2、两条直线的垂直问题用向量关系推导：设直线和的斜率分别是和，则直线有方向向量，直线有方向向量，根据平面向量的有关知识，有 即所以，如果两条直线的斜率分别是和，则这两条直线垂直的充要条件是注意：（1） 两条直线垂直的条件是斜率存在且不为0（2） 两条垂直的直线中，如果一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定为0 用倾斜角的关系推导：如果，这时，否则两直线平行设，甲图的特征是与的交点在x轴上方；乙图的特征是与的交点在x轴下方；丙图的特征是与的交点在x轴上，无论哪种情况下都有：因为和的斜率为和，即，所以 ，即或 反过来，如果或两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直，即 例题讲解：例3、求过点，且与直线垂直的直线的方程解：设与直线垂足的直线方程为直线经过点，解得 故所求的方程为 例4、求与直线平行，且在两坐标轴上的截距之和为的直线的方程解：设直线的方程为，令，则在轴上的截距为；令，则在轴上的截距为，由得，所求直线方程为例5、已知直线与互相垂直，求的值解 ： ，且两直线互相垂直，解之得 注意：若用斜率来解，则需讨论三、探索研究思考1：已知直线、的方程为：，：求证：的充要条件是 思考2：已知直线和的一般式方程为：，：，则 四、课堂练习：1有下列命题：若两条直线平行，则其斜率必相等；若两条直线垂直，则其斜率乘积必是；过点且斜率为2的直线方程是；同垂直于x轴的两条直线都和y轴平行。其中真命题的个数是 （ A ）A、0 B、1 C、2 D、4 2如果直线和直线平行，那么 （ D ）A、 B、 C、 D、3如果直线和直线平行，那么 （ D ）A、 B、 C、3 D、64如果两直线和平行，那么 （ D ）A、0 B、 C、1 D、15、如果直线和平行，那么 （ A ）A、0 B、 C、1 D、16、两条直线，垂直的充要条件是 （ A ）A、 B、 C、 D、7、若两条直线与互相垂直，则a的值等于 （ C ）A、3 B、5 C、3或2或5 D、58、已知直线：，： ()若，试求的值；() 若，试求的值【教学目的】1.明确理解直线到的角及两直线夹角的定义2.掌握直线到的角及两直线夹角的计算公式3.能根据直线方程求直线到的角及两直线夹角重点难点：两条直线的夹角， 夹角概念的理解.教学过程：一、复习引入： 1特殊情况下的两直线平行与垂直当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90，另一条直线的倾斜角为0，两直线互相垂直2斜率存在时两直线的平行与垂直：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即=且已知直线、的方程为：，：的充要条件是 两条直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是和，则这两条直线垂直的充要条件是已知直线和的一般式方程为：，：，则 二、讲解新课：1.直线到的角的定义：两条直线和相交构成四个角,它们是两对对顶角,我们把直线按逆时针方向旋转到与重合时所转的角,叫做到的角.在图中,直线到的角是, 到的角是. 到的角：01802直线到的夹角定义: 如图，到的角是, 到的角是,当与相交但不垂直时, 和仅有一个角是锐角,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角.当直线时,直线与的夹角是.夹角：090.说明: 0, 0,且+3直线到的角的公式:.推导:设直线到的角，.如果如果,设，的倾斜角分别是和，则.由图（1）和图（2）分别可知于是 4直线，的夹角公式: 根据两直线的夹角定义可知，夹角在范围内变化，所以夹角正切值大于或等于0。故可以由到的角取绝对值而得到与的夹角公式.这一公式由夹角定义可得三、讲解范例：例1 求直线的夹角(用角度制表示)解:由两条直线的斜率得利用计算器计算或查表可得:7134说明:应用了两直线夹角公式,要求学生熟练掌握.例2 等腰三角形一腰所在直线的方程是,底边所在直线的方程是,点(-2,0)在另一腰上,求这条腰所在直线的方程.解:设，的斜率分别为, 到的角是, 到的角是,则因为，所围成的三角形是等腰三角形,所以, 即将代入得解得因为经过点(-2,0),斜率为2,写出其点斜式方程为,得:. 即直线的方程四、课堂练习：1、直线绕它与x轴的交点逆时针旋转，所得直线方程是（ C ）A、 B、 C、 D、2、直线与直线的夹角为 （ D ）A、 B、 C、 D、3、已知直线，夹角的平分线为，