高三数学高考二轮复习专题课件5：集合与简易逻辑.ppt

1 集合 1 集合的含义及表示 了解集合的含义 元素与集合的 属于 关系 能用自然语言 图形语言 集合语言 列举法或描述法 描述不同的具体问题 2 集合间的基本关系 学案5集合与简易逻辑 理解集合之间包含与相等的含义 能识别给定集合的子集 在具体情境中 了解全集与空集的含义 3 集合的基本运算 理解两个集合的并集与交集的含义 会求两个集合的并集与交集 理解在给定集合中一个子集的补集的含义 会求给定子集的补集 能用韦恩 venn 图表达集合的关系及运算 2 1 简易逻辑 2 简单的逻辑联结词了解逻辑联结词 或 且 非 的含义 1 2009 山东 集合a 0 2 a b 1 a2 若a b 0 1 2 4 16 则a的值为 a 0b 1c 2d 4解析 a 0 2 a b 1 a2 a b 0 1 2 4 16 a 4 2 2009 江西 已知全集u a b中有m个元素 ua ub 中有n个元素 若a b非空 则a b的元素个数为 a mnb n mc n md m n解析a b u ua ub 所以a b共有m n个元素 d d 3 2009 湖北 已知p a a 1 0 m 0 1 m r q b b 1 1 n 1 1 n r 是两个向量集合 则p q等于 a 1 1 b 1 1 c 1 0 d 0 1 解析 p a a 1 0 m 0 1 m r a a 1 m q b b 1 n 1 n n r 由 a b 1 1 p q 1 1 a 4 2009 天津 设x r 则 x 1 是 x3 x 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件解析因为x3 x 解得x 0 1 1 显然条件的集合小 结论表示的集合大 由集合的包含关系 我们不难得到结论 a 题型一集合的概念与运算 例1 2009 全国 设集合a 4 5 7 9 b 3 4 7 8 9 全集u a b 则集合u a b 中的元素共有 a 3个b 4个c 5个d 6个解析 a b 3 4 5 7 8 9 a b 4 7 9 u a b 3 5 8 也可用 u a b ua ub 3 8 5 3 5 8 a 探究拓展 在解答这类问题时 首先辨析清楚代表元素所表示的意义 其次也要重视集合运算的两个重要性质 u a b ua ub u a b ua ub 变式训练1 2009 四川 设集合s x x 5 t x x2 4x 21 0 则s t等于 a x 7 x 5 b x 3 x 5 c x 5 x 3 d x 7 x 5 解析因为s x 5 x 5 t x 7 x 3 所以s t x 5 x 3 c 题型二四种命题及相互关系 例2 有下列四个命题 若x y 0 则x y互为相反数 的否命题 若a b 则a2 b2 的逆否命题 若x 3 则x2 x 6 0 的否命题 对顶角相等 的逆命题 其中真命题的个数是 a 0b 1c 2发d 3 探究拓展 在判断四种命题真假的常用方法为 一是分别写出四种命题 再逐个判断出每个命题的真假 二是充分利用互为逆否命题的等价性 判断它的真假 这种方法简单 明快大大优化了解题过程 b 变式训练2 2009 重庆 命题 若一个数是负数 则它的平方是正数 的逆命题是 a 若一个数是负数 则它的平方不是正数 b 若一个数的平方是正数 则它是负数 c 若一个数不是负数 则它的平方不是正数 d 若一个数的平方不是正数 则它不是负数 解析原命题的逆命题 是把原命题的结论和题设互换 b 题型三充要条件的判定与求解 例3 2009 四川 已知a b c d为实数 且c d 则 a b 是 a c b d 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件解析c d a c b d a b c d 0 a b 若4 c d 3 4 a b 3 则a c 0 b d 6 即a c b d b 探究拓展 在判断充要条件时 一定要注意看由谁推出谁 箭尾 是 箭头 的充分条件 箭头 是 箭尾 的必要条件 相互推出 则互为充要条件 变式训练3设p 实数x满足x2 4ax 3a20 且非p是非q的必要不充分条件 求实数a的取值范围 解因p x2 4ax 3a20 得x 2或x 4 所以x 2或x 4 又非p是非q的必要不充分条件 所以q是p的必要不充分条件 即所以a 4或 a 0 题型四集合的有关计算 例4 若b x x2 3x 2a 即a 1或a 0时 a x a x a2 要使a b a 则 所以1 a a 1a2 2 若a2 a 即0 a 1时 a x a2 x a 要使a b a 则 即1 a 2 所以a 综上可知 当1 a 或a 0时 满足a b a成立 探究拓展 在解答这类问题时 要特别注意分类讨论数学思想的应用 还要注意 分类讨论时分类标准的选择 做到不重不漏 最后还要有总结性的语言 a 2 1 a2 变式训练4设集合a 1 a b b a a2 ab 且a b 则实数a2010 b2010的值为1 解析由a b得a2 a且ab a 若解得a 1 但a 1时与集合中的元素互异性矛盾 所以a 1 b 0 经检验 此时a b 若解得a 1 矛盾 综上 可知a 1 b 0 所以a2010 b2010 1 a2 1 ab b ab 1a2 b 考题再现 2009 浙江 设u r a x x 0 b x x 1 则a ub等于 a x 0 x 1 b x 0 x 1 c x x 0 d x x 1 解题示范 解析对于ub x x 1 因此a ub x 0 x 1 b 1 在解答集合的有关问题时 要搞清楚集合间的相互关系 要十分注意元素的三个特性 特别是元素的互异性 要注意空集的特殊性 它是任何集合的子集 2 要准确理解 或 且 非 的含义 在写命题的否命题或命题的否定时一定要看准条件 注意二者的区别 3 在判断充要条件时 一定要注意看由谁 谁 箭尾 是 箭头 的充分条件 箭头 是 箭尾 的必要条件 相互推出 则互为充要条件 4 要注意 数形结合 的数学思想在解题中的应用 一 选择题1 2009 陕西 若不等式x2 x 0的解集为m 函数f x ln 1 x 的定义域为n 则m n为 a 0 1 b 0 1 c 0 1 d 1 0 解析不等式x2 x 0的解集是m x 0 x 1 而函数f x ln 1 x 的定义域为n x 1 x 1 所以m n 0 1 a 2 2009 浙江 x 0 是 x 0 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件解析对于 x 0 x 0 反之不一定成立 因此 x 0 是 x 0 的充分而不必要条件 a 3 已知集合p x x2 2x 3 0 q x x a 若则实数a的取值范围是 a a 1b a 3c 0 a 1d 0 a 3解析由题意可知p x 1 x 3 当a 0时 q 即 当a 0时 q x a x a 要使 只须 a 1且a 3 即a 1 a 4 已知集合m x y lg x2 3x 2 n m x2 x 4 m0 得11 因 x2 x 4 m x2 x 4 a 则m a 所以n m m a 又m是n的真子集 所以a 2 d 5 设集合m 1 2 3 4 5 6 s1 s2 sk都是m的含两个元素的子集 且满足 对任意的si ai bi sj aj bj i j i j 1 2 3 k 都有 min x y 表示两个数x y中的较小者 则k的最大值是 a 10b 11c 12d 13解析含2个元素的子集有15个 但 1 2 2 4 3 6 只能取一个 1 3 2 6 只能取一个 2 3 4 6 只能取一个 故满足条件的两个元素的集合有11个 b 二 填空题6 2009 天津 设全集u a b x n lgx 1 若a ub m m 2n 1 n 0 1 2 3 4 则集合b 解析u a b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a ub 1 3 5 7 9 7 2009 江苏 已知集合a x log2x 2 b a 若 则实数a的取值范围是 c 其中c 解析由log2x 2 得0 x 4 a 0 4 由知a 4 所以c 4 2 4 6 8 4 8 设c 0且c 1 有两个命题 p 不等式 x x 2c 1的解集是r q 函数f x cx是减函数 若 p且q 为假 p或q 为真 则实数c的取值范围是 解析若p为真 则c 且c 1 q假 则c 1 所以当 p真q假 时 c 1 若p为假 则0 c q真 则0 c 1 所以当 p假q真 时 0 c 所以满足条件的c的取值范围是 9 已知集合a x x a 1 b x x2 5x 4 0 若 则实数a的取值范围是 解析集合a x x a 1 x a 1 x a 1 b x x2 5x 4 0 x x 4或x 1 又解得2 a 3 2 3 三 解答题10 已知a 1 设集合p x a x 2 1 0 q x x 1 2 a x 2 1 试寻求使得p且q为真命题的实数x的集合 解记f a a x 2 1 f a 0对于一切大于1的实数a恒成立 所以应满足解得x 2 记g a a x 2 x 1 2 1 g a 0对于一切大于1的实数a恒成立 所以应满足且其中等号不同时成立 即解得x 1 所以使p且q为真命题的x集合为空集 11 对于函数f x 若f x x 则称x为f x 的 不动点 若f f x x 则称x为f x 的 稳定点 函数f x 的 不动点 和 稳定点 的集合分别记为a和b 即a x f x x b x f f x x 1 求证 2 若f x ax2 1 a x r 且 求实数a的取值范围 1 证明若显然成立 若设m a 则有f m m 所以f f m f m m 即m b 故综上可知 成立 2 解因为所以方程ax2 1 x有实根 a 0或又所以方程a ax2 1 2 1 x 即a3x4 2a2x2 x a 1 0 从而有 ax2 x 1 a2x2 ax a 1 0 即ax2 x 1 0或a2x2 ax a 1 0 因为所以方程a2x2 ax a 1 0 要么没有实根 要么实根是方程ax2 x 1 0的根 易知方程a2x2 ax a 1 0与ax2 x 1 0不可能同解 则只能有方程a2x2 ax a 1 0无实数解 当a 0时 显然成立 当a 0时 有 a2 4a2 1 a 0 即a2 4a 3 0 所以且a 0 由以上讨论可知 又所以实数a的取值范围为 12 已知命题p 方程a2x2 ax 2 0在 1 1 上有解 命题q 只有一个实数x满足不等式x2 2ax 2a 0 若命题 p或q 是假命题 求a的取值范围 解若p或q是假命题 则p和q都是假命题 由题意知a 0 若p正确 a2x2 ax 2 ax 2 ax 1 0的解为若方程在 1 1 上有解 只需满足即a 1 1 若q正确 即只有一个实数x满足x2 2ax 2a 0 则有 0