高三数学高考二轮复习专题课件4：转化与化归思想.ppt

1 化归思想方法 就是在研究和解决有关数学问题时 采用某种手段或方法将问题通过变换使之转化 进而达到使问题解决的一种方法 在解决数学问题时 常遇到一些问题直接求解较为困难 需将原问题转化为一个新问题 相对来说 对自己较为熟悉 通过对新问题的求解 达到解决原问题的目的 2 转化思想方法 是实现问题的规范化 模式化以便应用已知的理论 方法和技巧 达到问题的解决 其思维过程的形式如图 解题的过程就是 转化 的过程 转化 是解数学题的重要思想方法之一 学案4转化与化归思想 3 转化具有多样性 层次性和重复性的特点 为了实施有效的转化 既可以变更问题的条件 也可以变更问题的结论 既可以变换问题的内部结构 又可以变换问题的外部形式 这就是多样性 转化原则既可以应用于沟通数学与各分支学科的联系 从宏观上实现学科间的转化 又能调动各种方法与技术 从微观上解决多种具体问题 这是转化的层次 而解决问题时可以多次的使用转化 使问题逐次达到规范化 这是转化原则应用的重复性 问题 规范问题 原问题的解答 解答 问题转化 已知理论 方法 技巧 问题还原 1 函数y sin4x cos2x的最小正周期是 a b c d 解析 b 2 在直角坐标系中 o是坐标原点 动点p在直线x 3上运动 若从动点p向q点的轨迹引切线 则所引切线长的最小值为 a 4b 5c d 解析点q的轨迹是以 2 2 为圆心 半径为1的圆 要使所求切线长最小 只要使圆心到直线x 3的距离最短即可 c 3 设椭圆 a b 0 的半焦距为c 直线l过 0 a 和 b 0 已知原点到l的距离等于 则椭圆的离心率为 a b c d 解析直线方程为l ax by ab 0 所以 变形为12e4 31e2 7 0 再解出 b 4 设o是坐标原点 a 1 1 若b x y 满足 则取最小值时 点b的个数 a 1b 2c 3d 无数个解析点b x y 满足画出可行域如图阴影部分 又a 1 1 b x y 令 x y t 则由t得几何意义可知 当过圆中b1 b2两点时 t的值最小 此时tmin 3 所以取最小值时 点b的个数为2 b 题型一等与不等的转化与化归 例1 若a b是正数 且满足ab a b 3 求ab的取值范围 解方法一 看成函数的值域 ab a b 3 即a 1或a 3 又a 0 a 1 故a 1 0 当且仅当 即a 3时取等号 又a 3时 是关于a的单调增函数 ab的取值范围是 9 方法二 看成不等式的解集 a b为正数 ab 9 探究拓展 将一个等式转化成不等式 是求变量取值范围的重要方法 通常利用函数的单调性解答此类问题 或者利用基本不等式解答这类问题 变式训练1已知三实数a b c成等比数列 且a b c m m是正常数 求b的取值范围 解方法一设三个实数为由a b c m 得 方法二因为a b c成等比数列 所以b2 ac 又a b c m 所以则a c是关于x的方程x2 m b x b2 0的两个实数根 所以 m b 2 4b2 0 题型二正与反的转化与化归 例2 试求常数m的范围 使曲线y x2的所有弦都不能被直线y m x 3 垂直平分 解由题意可知 m 0 所以设抛物线上两点关于直线y m x 3 对称 于是有 因为存在x1 r使上式恒成立 即12m3 2m2 1 0 也即 2m 1 6m2 2m 1 0 因为6m2 2m 1 0恒成立 所以2m 1 0 所以 即当时 抛物线上存在两点关于直线y m x 3 对称 所以当时 曲线y x2的所有弦都不能被直线y m x 3 垂直平分 探究拓展 在进行正与反的转化时 一定要搞清楚问题的反面是什么 就本题而言 它的反面是 至少存在一条弦能被直线y m x 3 垂直平分 进而将问题转化成对称问题 在解答问题时 正难则反是转化的一种有效手段 变式训练2已知a b c 0 1 求证 1 a b 1 b c 1 c a不能同时大于 证明 不能同时大于 包含多种情形 不易直接证明 可用反证法证明 假设三式同时大于 a b c 0 1 三式同向相乘得 1 a b 1 b c 1 c a 这与假设矛盾 故原命题正确 题型三以换元为手段的转化与化归 例3 已知函数f x 1 2a 2acosx 2sin2x的最小值为g a 1 求g a 的表达式 2 若g a 求实数a的值 并求此时f x 的最大值 解 1 f x 2cos2x 2acosx 2a 1令t cosx 则 1 t 1 2 由题意分析得 只有一种情况 所以令 其中 2 a 2 解得a 1 此时 所以当cosx 1 即x 2k k z 时 函数f x 的最大值为5 探究拓展 通过换元将三角问题转化成较为熟悉的二次函数问题 应特别注意换元后t 1 1 应讨论二次函数的对称轴与区间 1 1 的位置关系 才能快速 准确解答此题 变式训练3求函数的最大值和最小值 解设t sinx cosxzz 题型四常量与变量的转化与化归 例4 设f x 是定义在r上的单调递增函数 若f 1 ax x2 f 2 a 对任意a 1 1 恒成立 求实数x的取值范围 解由题意知 1 ax x2 2 a 即 1 x a x2 1 0 令g a 1 x a x2 1 所以原不等式等价于解得x 2 1 所以实数x的取值范围是 2 1 探究拓展 在解答这类问题时 往往是通过变换主元的方式 转换思维方式从而使问题的解答变得简洁 明快 变式训练4已知二次方程ax2 2 2a 1 x 4a 7 0中的a为正整数 问a取何值时此方程至少有一个整数根 解原方程即是 x2 4x 4 a 2x 7 x 2不是原方程的解 又 a为正整数 即x2 2x 3 0 解得 3 x 1 又 x是整数且x 2 x 3 1 0 1 把它们分别代入原方程得又因为a为正常数 故当a 1或a 5时 原方程至少有一个整数根 考题再现 已知奇函数f x 的定义域为实数集r 且f x 在 0 上是增函数 当时 是否存在这样的实数m 使对所有的均成立 若存在 求出所有适合条件的实数m 若不存在 请说明理由 解题示范 解由f x 是r上的奇函数可得f 0 0 再利用f x 的单调性 则可把原不等式转化为关于的三角不等式 f x 在r上为奇函数 又在 0 上是增函数 故f x 在r上为增函数 且f 0 0 2分由题设条件可得 又由f x 为奇函数 可得 4分 f x 在r上为增函数 6分 令 0 t 1 于是问题转化为对一切0 t 1 不等式t2 mt 2m 2 0恒成立 8分 t2 2 m t 2 即又 10分11分 存在实数m满足题设的条件 12分 转化思想方法包含三个基本要素 1 把什么东西转化 即转化的对象 2 转化到何处去 即转化的目标 3 如何进行转化 即转化的方法 转化思想方法应遵循以下五条原则 1 熟悉化原则 将陌生的问题转化成熟悉的问题 以利于我们运用熟悉的知识 经验和问题来解决 2 简单化原则 将复杂问题转化成简单问题 通过对简单问题的解决 达到解决复杂问题的目的 或获得某种解题的启示和依据 3 和谐化原则 转化问题的条件或结论 使其表现形式更符合数与形内部所表示和谐统一的形式 或者转化命题 使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律 4 直观化原则 将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决 5 正难则反原则 当问题正面讨论遇到困难时 应想到考虑问题的反面 设法从问题的反面去探求 使问题获得解决或证明的可能性 一 选择题1 已知向量a 1 1 b x 1 若a与b所成的角不是锐角 则x的取值范围是 a 1 b 1 c 1 1 d 1 解析假设a与b所成的角是锐角 则得x 1 所以a与b所成的角不是锐角时 x的取值范围是 1 b 2 已知a b c a b c 0 当0 x 1时 代数式ax2 bx c的值是 a 正数b 负数c 0d 介于 1到0之间解析由a b c a b c 0知a 0 c 0 令f x ax2 bx c 则f 0 c 0 f 1 a b c 0 设m是f x 0的另一根 则所以在区间 0 1 上 f x ax2 bx c 0 b 3 若直线2ax by 2 0 a 0 b 0 被圆x2 y2 2x 4y 1 0截得的弦长为4 则的最小值是 a 2b c d 4解析圆的方程可化为 x 1 2 y 2 2 4 所以圆心为m 1 2 半径r 2 则已知直线过圆心 即a b 1 所以 d 4 设函数f x 对于任意实数x都有f x 1 f 1 x 恒成立 且方程f x 0有2009个解 则这2009个解的和是 a 0b 1c 2009d 4018解析由题意可知 函数f x 的图象关于直线x 1对称 而方程f x 0有2009个解 所以f 1 0 即x 1是它的一个根 其它根关于x 1对称 所以这2009个解的和是1004 2 1 2009 c 5 在rt abc中 c 90 bc a ac b 则 abc外接圆的半径为 运用类比方法 在四面体s abc中 若sa sb sc两两垂直 sa a sb b sc c 则四面体s abc外接球的半径r等于 a b c d 解析因为在四面体s abc中 有sa sb sc两两垂直 则可以sa sb sc为棱把四面体补成长方体 所以长方体的对角线长为 又因四面体s abc与补成的长方体有相同的外接球 所以答案b 6 已知椭圆 a b 0 的左 右焦点分别为f1 f2 p为椭圆上的一点 且 pf1 pf2 的最大值的取值范围是 2c2 3c2 其中则椭圆的离心率的取值范围为 a b c d 解析因为 pf1 pf2 2a 即 pf1 pf2 max a2 所以2c2 a2 3c2 答案a 二 填空题7 解析原式 8 已知a b x y r a2 b2 4 ax by 6 则x2 y2的最小值为 解析由题意可设则所以即x2 y2 r2 9 9 直线y x 3与抛物线y2 4x交于a b两点并向抛物线的准线作垂线 垂足分别为d c 则梯形abcd的面积为 解析由得x2 10 x 9 0 解得x1 9 x2 1 如图 梯形面积s ad bc cd x1 x2 p y1 y2 9 1 2 2 3 1 48 48 10 已知函数f x 满足f 1 2 则f 1 f 2 f 2009 解析由题意得 所以f x 是以4为周期的函数 且f