【学海导航】高考数学第1轮总复习 全国统编教材 10.1两个计数原理课件 理.ppt

第十章排列 组合 二项式定理和概率 两个计数原理 第讲 1 1 完成一件事 有n类办法 在第1类办法中有m1种不同的方法 在第2类办法中有m2种不同的方法 在第n类办法中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有n 种不同的方法 2 完成一件事 需要分成n个步骤 做第1步有m1种不同的方法 做第2步有m2种不同的方法 做第n步有mn种不同的方法 那么完成这件事共有n 种不同的方法 3 如果完成一件事有n类办法 其中第一类办法中的 都能完成这件事 求完成这件事的方法种数就用 原理 它可用物理中的 并联 电路来理解 是一种加法原理 任一种方法 分类计数 4 如果完成一件事需要分成n个步骤 其中每一步均 这件事 只有依次完成所有步骤才能完成这件事 求完成这件事的方法种数就用 原理 它可用物理中的 串联 电路来理解 是一种乘法原理 不能完成 分步计数 1 十字路口来往的车辆 如果不允回头 共有种行车路线 a 24b 16c 12d 10解 起点有c41种可能 终点有c31种可能 因此 行车路线共有c41c31 12种 c 2 从正方体的6个面中选取3个面 其中有2个面不相邻的选法共有 a 8种b 12种c 16种d 20种解 有2个面不相邻即有一组对面 所以选法为12种 b 3 某城市的电话号码 由六位升为七位 首位数字均不为零 则该城市可增加的电话部数是 a 9 8 7 6 5 4 3b 8 96c 9 106d 81 105解 电话号码是六位数字时 该城市可安装电话9 105部 同理升为七位时为9 106 所以可增加的电话部数是9 106 9 105 81 105 d 题型1利用分类计数原理求方法数 1 某中学高三年级有三个班 01班有学生50人 其中男生30人 02班有学生60人 其中男生30人 03班有学生55人 其中男生35人 1 从这三个班中选一名学生任学生会主席 求共有多少种不同的选法 2 从01班或02班的男生中 或从03班的女生中选一名学生任学生会学习部长 求共有多少种不同的选法 解 1 分三类 从01班选1名有50种 从02班选1名有60种 从03班选1名有55种 由分类计数原理 共有不同的选法50 60 55 165 种 2 分三类 从01班男生中选1名有30种 从02班男生中选1名有30种 从03班女生中选1名有20种 由分类计数原理 共有不同的选法30 30 20 80 种 点评 利用分类进行计数时 主要是找到一个分类的标准 有时分类的划分标准有多个 但不论是以哪一个为标准 都应遵循 不重不漏 求得的各类方法数的和就是最后的方法总数 在所有的两位数中 个位数字大于十位数字的两位数共有多少个 解 根据题意 将十位数上的数字分别为1 2 3 4 5 6 7 8的情况分成八类 在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个 7个 6个 5个 4个 3个 2个 1个 由分类计数原理知 符合题意的两位数共有8 7 6 5 4 3 2 1 36个 2 用5种不同的颜色给图中a b c d四个区域涂色 规定每个区域只涂一种颜色 相邻区域颜色不同 求共有多少种不同的涂色方法 题型2利用分步计数原理求方法数 解 分四步 涂a有5种方法 涂b有 种方法 涂c有3种方法 涂d有3种方法 d与a可以同色 由分步计数原理 共有5 4 3 3 180 种 点评 分步计数就是把一件复杂的事件划分成几个步骤来完成 各步骤之间有一定的连续性 只有当全部步骤完成了 整个事件才算完成 这是分步的基础 也是关键 从计数上来看 各步的方法数的积就是事件的方法数 1 将4封信投入3个邮箱 有多少种不同的投法 2 3位旅客到4个旅店住宿 有多少种不同的住宿方法 3 4人各写一张贺卡 先集中起来 然后每人从中拿一张别人送出的贺卡 四张贺卡共有多少种不同的分配方式 解 1 分四步 每一封信都有3种不同的投法 由分步计数原理 共有3 3 3 3 81 种 2 分三步 每位旅客都有4种不同的住宿方法 由分步计数原理 共有4 4 4 64 种 3 分四步 四个人中的任意一人先取1张 有3种取法 由前一人取走的贺卡的供卡人取 张 有3种取法 由余下的两人中的任一人取 只有一种取法 最后一人取 只有一种取法 由分步计数原理 共有3 3 1 1 9 种 3 某城市在中心广场建造一个花圃 花圃分为6个部分 如图 现要栽种4种不同颜色的花 每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花 不同的栽种方法有种 用数字作答 题型3两个计数原理的综合应用 解法1 从题意来看 6部分种4种颜色的花 又从图形看 知必有2组同颜色的花 从同颜色的花入手分类求 1 与 同色 则 也同色或 也同色 所以共有n1 4 3 2 2 1 48种 2 与 同色 则 或 同色 所以共有n2 4 3 2 2 1 48种 3 与 且 与 同色 所以共有n3 4 3 2 1 24种 所以 共有n n1 n2 n3 48 48 24 120种 解法2 记颜色为a b c d四色 先安排1 2 3有4 3 2种不同的栽法 不妨设1 2 3已分别栽种a b c 则4 5 6栽种方法共5种 由以下树状图清晰可见 根据分步计数原理 不同的栽种方法有n 4 3 2 5 120种 点评 解法1是常规解法 解法2安排4 5 6时又用了分类和列举的方法 复杂事件的计数问题需要用到两种计数原理 一般采用的是先分类 后分步 各步中又可能涉及到分类 注意两个计数原理的综合应用 在编号为1 2 3 4的四块土地上分别种植编号为1 2 3 4的四个品种的小麦 但1号地不能种1号小麦 2号地不能种2号小麦 3号地不能种3号小麦 求共有多少种不同的种植方案 解 分两类 若4号地种4号小麦 则1号地有2种种植方法 2 3号地都只有1种种植方法 所以共有2 1 1 2种方法 若4号地不种4号小麦 则每块土地上种植的小麦的编号与土地的编号都不相同 第1号土地有3种种植方法 设1号地种i号小麦 则i号地有3种种植方法 余下的两块地各只有一种种法 所以共有3 3 1 1 9种方法 由分类计数原理 共有2 9 11种 1 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色 并使同一条棱上的两端点颜色不同 如果只有5种颜色可供使用 求共有多少种不同的染色方案 解 记四棱锥为s abcd 五种颜色的编号为1 2 3 4 5 分两步 第一步 对s a b三点染色 共有5 4 3 60种方法 第二步 对c d两点染色 当s a b已染好色时 不妨设其颜色分别为1 2 3 则c点可染2 4 5号色中的一种 分为三类 若c染2号色 则d点可染3 4 5号色中的任一种 有3种方法 若c染4号色 则点d可染3 5号色中的任一种 有2种方法 若c染5号色 则点d可染3 4号色中的任一种 有2种方法 由两个计数原理 共有60 3 2 2 420种 2 在任意两个正整数m和n间定义某种运算 用表示运算符号 并规定 当m和n都为奇数或都为偶数时 mn m n 当m和n中有一个为奇数 另一个为偶数时 m n mn 设集合m a b a b 36 a b n 求集合m中共有多少个元素 解 分两类 当a b都为正奇数或正偶数时 ab a b 36 所以a 1 b 35 或a 2 b 34 或a 35 b 1 共有35个元素 当a b中有一个为正奇数 另一个为正偶数时 a b ab 36 所以a 1 b 36 或a 3 b 12 或a 4 b 9 或a 36 b 1 或a 12 b 3 或a 9 b 4 共有 个元素 由分类计数原理知 共有35 6 41个元素 3 若m n x x a2 102 a1 10 a0 其中ai i 0 1 2 1 2 3 4 5 6 并且m n 606 则实数对 m n 表示平面上不同点的个数为 a 32b 30c 62d 60 d 解 由m n 606 其个位数字为6 所以a0可有 1 5 5 1 2 4 4 2 3 3 共5种组成方法 十位数字为0 可有 4 6 6 4 5 5 共3种组成方法 百位数字为6 可由十位进上来1 余下5可有 1 4 4 1 2 3 3 2 共4种组成方法 由分步计数原理 实数对 m n 的个数为5 3 4 60 故选d 1 利用两个计数原理解决实际问题时 先要弄清这是做一件什么事 这件事是怎么做的 再将 事件 进行分类或分步 然后分别计算各类或各步中的方法数 最后结合相应的原理得出结论 2 分类和分步的标准不是唯一的 不同的标准对应不同的解法 但在同一种解法