IIR数字滤波器的设计(一).ppt

第5章无限脉冲响应数字滤波器的设计 5 1数字滤波器的基本概念5 2模拟滤波器的设计5 3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 5 1数字滤波器的基本概念 1 数字滤波器的分类数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类 可以分成无限脉冲响应 IIR 滤波器和有限脉冲响应 FIR 滤波器 它们的系统函数分别为 图5 1 1理想低通 高通 带通 带阻滤波器幅度特性 2 数字滤波器的技术要求我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器 假设数字滤波器的传输函数H ej 用下式表示 图5 1 2低通滤波器的技术要求 通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示 通带内允许的最大衰减用 p表示 阻带内允许的最小衰减用 s表示 p和 s分别定义为 5 1 3 5 1 4 如将 H ej0 归一化为1 5 1 3 和 5 1 4 式则表示成 5 1 5 5 1 6 3 数字滤波器设计方法概述IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法是很不相同的 IIR滤波器设计方法有两类 经常用的一类设计方法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的 其设计步骤是 先设计模拟滤波器得到传输函数Ha s 然后将Ha s 按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H z 5 2模拟滤波器的设计 模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟 且有若干典型的模拟滤波器供我们选择 如巴特沃斯 Butterworth 滤波器 切比雪夫 Chebyshev 滤波器 椭圆 Cauer 滤波器 贝塞尔 Bessel 滤波器等 这些滤波器都有严格的设计公式 现成的曲线和图表供设计人员使用 图5 2 1各种理想滤波器的幅频特性 1 模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指标有 p p s和 s 其中 p和 s分别称为通带截止频率和阻带截止频率 p是通带 0 p 中的最大衰减系数 s是阻带 s的最小衰减系数 p和 s一般用dB数表示 对于单调下降的幅度特性 可表示成 5 2 1 5 2 2 如果 0处幅度已归一化到1 即 Ha j0 1 p和 s表示为以上技术指标用图5 2 2表示 图中 c称为3dB截止频率 因 5 2 3 5 2 4 图5 2 2低通滤波器的幅度特性 滤波器的技术指标给定后 需要设计一个传输函数Ha s 希望其幅度平方函数满足给定的指标 p和 s 一般滤波器的单位冲激响应为实数 因此 5 2 5 2 巴特沃斯低通滤波器的设计方法巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数 Ha j 2用下式表示 5 2 6 图5 2 3巴特沃斯幅度特性和N的关系 将幅度平方函数 Ha j 2写成s的函数 5 2 7 此式表明幅度平方函数有2N个极点 极点sk用下式表示 5 2 8 图5 2 4三阶巴特沃斯滤波器极点分布 为形成稳定的滤波器 2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha s 而右半平面的N个极点构成Ha s Ha s 的表示式为 设N 3 极点有6个 它们分别为 取s平面左半平面的极点s0 s1 s2组成Ha s 由于各滤波器的幅频特性不同 为使设计统一 将所有的频率归一化 这里采用对3dB截止频率 c归一化 归一化后的Ha s 表示为式中 s c j c 令 c 称为归一化频率 令p j p称为归一化复变量 这样归一化巴特沃斯的传输函数为 5 2 10 5 2 11 式中 pk为归一化极点 用下式表示 将极点表示式 5 2 12 代入 5 2 11 式 得到的Ha p 的分母是p的N阶多项式 用下式表示 5 2 12 将 s代入 5 2 6 式中 再将 Ha j s 2代入 5 2 4 式中 得到 5 2 14 5 2 15 由 5 2 14 和 5 2 15 式得到 令 则N由下式表示 5 2 16 用上式求出的N可能有小数部分 应取大于等于N的最小整数 关于3dB截止频率 c 如果技术指标中没有给出 可以按照 5 2 14 式或 5 2 15 式求出 由 5 2 14 式得到 由 5 2 15 式得到 5 2 17 5 2 18 总结以上 低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下 1 根据技术指标 p p s和 s 用 5 2 16 式求出滤波器的阶数N 2 按照 5 2 12 式 求出归一化极点pk 将pk代入 5 2 11 式 得到归一化传输函数Ha p 3 将Ha p 去归一化 将p s c代入Ha p 得到实际的滤波器传输函数Ha s 表5 2 1巴特沃斯归一化低通滤波器参数 例5 2 1已知通带截止频率fp 5kHz 通带最大衰减 p 2dB 阻带截止频率fs 12kHz 阻带最小衰减 s 30dB 按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器 解 1 确定阶数N 2 按照 5 2 12 式 其极点为 按照 5 2 11 式 归一化传输函数为 上式分母可以展开成为五阶多项式 或者将共轭极点放在一起 形成因式分解形式 这里不如直接查表5 2 1简单 由N 5 直接查表得到 极点 0 3090 j0 9511 0 8090 j0 5878 1 0000 式b0 1 0000 b1 3 2361 b2 5 2361 b3 5 2361 b4 3 2361 3 为将Ha p 去归一化 先求3dB截止频率 c 按照 5 2 17 式 得到 将 c代入 5 2 18 式 得到 将p s c代入Ha p 中得到 3 模拟滤波器的频率变换 模拟高通 带通 带阻滤波器的设计为了防止符号混淆 先规定一些符号如下 1 低通到高通的频率变换 和 之间的关系为上式即是低通到高通的频率变换公式 如果已知低通G j 高通H j 则用下式转换 5 2 41 5 2 40 图5 2 9低通与高通滤波器的幅度特性 模拟高通滤波器的设计步骤如下 1 确定高通滤波器的技术指标 通带下限频率 p 阻带上限频率 s 通带最大衰减 p 阻带最小衰减 s 2 确定相应低通滤波器的设计指标 按照 5 2 40 式 将高通滤波器的边界频率转换成低通滤波器的边界频率 各项设计指标为 低通滤波器通带截止频率 p 1 p 低通滤波器阻带截止频率 s 1 s 通带最大衰减仍为 p 阻带最小衰减仍为 s 3 设计归一化低通滤波器G p 4 求模拟高通的H s 将G p 按照 5 2 40 式 转换成归一化高通H q 为去归一化 将q s c代入H q 中 得例5 2 3设计高通滤波器 fp 200Hz fs 100Hz 幅度特性单调下降 fp处最大衰减为3dB 阻带最小衰减 s 15dB 5 2 42 解 高通技术要求 fp 200Hz p 3dB 3dbfcfs 100Hz s 15dB归一化频率 低通技术要求 设计归一化低通G p 采用巴特沃斯滤波器 故 求模拟高通H s 2 低通到带通的频率变换低通与带通滤波器的幅度特性如图5 2 10所示 图5 2 10带通与低通滤波器的幅度特性 表5 2 2 与 的对应关系 由 与 的对应关系 得到 由表5 2 2知 p对应 u 代入上式中 有 5 2 43 式称为低通到带通的频率变换公式 利用该式将带通的边界频率转换成低通的边界频率 下面推导由归一化低通到带通的转换公式 由于 5 2 43 将 5 2 43 式代入上式 得到 将q j 代入上式 得到 为去归一化 将q s B代入上式 得到 5 2 44 5 2 45 上式就是由归一化低通直接转换成带通的计算公式 下面总结模拟带通的设计步骤 1 确定模拟带通滤波器的技术指标 即 带通上限频率 u 带通下限频率 l下阻带上限频率 s1 上阻带下限频率 s2通带中心频率 20 l u 通带宽度B u l与以上边界频率对应的归一化边界频率如下 2 确定归一化低通技术要求 s与 s的绝对值可能不相等 一般取绝对值小的 s 这样保证在较大的 s处更能满足要求 通带最大衰减仍为 p 阻带最小衰减亦为 s 3 设计归一化低通G p 4 由 5 2 45 式直接将G p 转换成带通H s 例5 2 4设计模拟带通滤波器 通带带宽B 2 200rad s 中心频率 0 2 1000rad s 通带内最大衰减 p 3dB 阻带 s1 2 830rad s s2 2 1200rad s 阻带最小衰减 s 15dB 解 1 模拟带通的技术要求 0 2 1000rad s p 3dB s1 2 830rad s s2 2 1200rad s s 15dBB 2 200rad s 0 5 s1 4 15 s2 6 2 模拟归一化低通技术要求 取 s 1 833 p 3dB s 15dB 3 设计模拟归一化低通滤波器G p 采用巴特沃斯型 有 取N 3 查表5 2 1 得 4 求模拟带通H s 3 低通到带阻的频率变换低通与带阻滤波器的幅频特性如图5 2 11所示 图5 2 11低通与带阻滤波器的幅频特性 图中 l和 u分别是下通带截止频率和上通带截止频率 s1和 s2分别为阻带的下限频率和上限频率 0为阻带中心频率 20 u l 阻带带宽B u l B作为归一化参考频率 相应的归一化边界频率为 u u B l l B s1 s1 B s2 s2 B 20 u l 表5 2 3 与 的对应关系 根据 与 的对应关系 可得到 且 u l 1 p 1 5 2 46 式称为低通到带阻的频率变换公式 将 5 2 46 式代入p j 并去归一化 可得上式就是直接由归一化低通转换成带阻的频率变换公式 5 2 46 5 2 47 5 2 48 下面总结设计带阻滤波器的步骤 1 确定模拟带阻滤波器的技术要求 即 下通带截止频率 l 上通带截止频率 u阻带下限频率 s1 阻带上限频率 s2阻带中心频率 20 u l 阻带宽度B u l它们相应的归一化边界频率为 l l B u u B s1 s1 B s2 s2 B 20 u l以及通带最大衰减 p和阻带最小衰减 s 2 确定归一化模拟低通技术要求 即 取 s和 s的绝对值较小的 s 通带最大衰减为 p 阻带最小衰减为 s 3 设计归一化模拟低通G p 4 按照 5 2 48 式直接将G p 转换成带阻滤波器H s 例5 2 5设计模拟带阻滤波器 其技术要求为 l 2 905rad s s1 2 980rad s s2 2 1020rad s u 2 1105rad s p 3dB s 25dB 试设计巴特沃斯带阻滤波器 解 1 模拟带阻滤波器的技术要求 l 2 905 u 2 1105 s1 2 980 s2 2 1020 20 l u 4 2 1000025 B u l 2 200 l l B 4 525 u u B 5 525 s1 s1 B 4 9 s2 5 1 20 l u 25 2 归一化低通的技术要求 3 设计归一化低通滤波器G p 4 带阻滤波器的H s 为 5 3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 为了保证转换后的H z 稳定且满足技术要求 对转换关系提出两点要求 1 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器 仍是因果稳定的 2 数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响 s平面的虚轴映射z平面的单位圆 相应的频率之间成线性关系 设模拟滤波器的传输函数为Ha s 相应的单位冲激响应是ha t 设模拟滤波器Ha s 只有单阶极点 且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次 将Ha s 用部分分式表示 5 3 1 式中si为Ha s 的单阶极点 将Ha s 进行逆拉氏变换得到ha t 5 3 2 式中u t 是单位阶跃函数 对ha t 进行等间隔采样 采样间隔为T 得到 5 3 3 对上式进行Z变换 得到数字滤波器的系统函数H z 5 3 4 设ha t 的采样信号用ha t 表示 对进行拉氏变换 得到 式中ha nT 是ha t 在采样点t nT时的幅度值 它与序列h n 的幅度值相等 即h n ha nT 因此得到 5 3 5 上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系可用下式表示 我们知道模拟信号ha t 的傅里叶变换Ha j 和其采样信号的傅里叶变换之间的关系满足 1 5 5 式 重写如下 5 3 6 将s j 代入上式 得 由 5 3 5 式和 5 3 8 式得到 5 3 7 5 3 8 5 3 9 上式表明将模拟信号ha t 的拉氏变换在s平面上沿虚轴按照周期 s 2 T延拓后 再按照 5 3 6 式映射关系 映射到z平面上 就得到H z 5 3 6 式可称为标准映射关系 下面进一步分析这种映射关系 设 按照 5 3 6 式 得到 因此得到 5 3 10 那么 0 r 1 0 r 1另外 注意到z esT是一个周期函数 可写成 为任意整数 图5 3 1z esT s平面与z平面之间的映射关系 图5 3 2脉冲响应不变法的频率混叠现象 假设没有频率混叠现象 即满足按照 5 3 9 式 并将关系式s j 代入 T 代入得到 令 一般Ha s 的极点si是一个复数 且以共轭成对的形式出现 在 5 3 1 式中将一对复数共轭极点放在一起 形成一个二阶基本节 如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为 极点为 5 3 11 可以推导出相应的数字滤波器二阶基本节 只有实数乘法 的形式为