01 第一节 常数项级数的概念与性质.doc

第七章 无穷级数 正如有限中包含着无穷级数，而无限中呈现极限一样；无限之灵魂居于细微之处，而最紧密地趋近极限却并无止境. 区分无穷大之中的细节令人喜悦！小中见大，多么伟大的神力. -雅克. 伯努利 无穷级数是数与函数的一种重要表达形式，也是微积分理论研究与实际应用中极其有力的工具. 无穷级数在表达函数、研究函数的性质、计算函数值以及求解微分方程等方面都有着重要的应用. 研究级数及其和，可以说是研究数列及其极限的另一种形式，但无论在研究极限的存在性还是在计算这种极限的时候，这种形式都显示出很大的优越性. 本章先讨论数项级数，介绍无穷级数的一些基本内容，然后讨论函数项级数，并着重讨论如何将函数展开成幂级数与三角级数的问题.第一节 常数项级数的概念和性质内容分布图示引言引例常数项级数的概念例1例2例3例4例5Koch雪花级数的基本性质例6例7例8例9内容小结课堂练习习题7-1返回内容要点: 一、 无穷级数与其部分和数列具有同样的敛散性，； 二、收敛级数的性质：（1）级数满足线性运算；（2）在级数中改变、去掉或增加前面有限项，不会改变级数的收敛性.（3） 在一个收敛级数中，任意添加括号所得到的新级数仍收敛于原来的和.（4）级数收敛的必要条件：若级数收敛，则 三、柯西审敛原理简介.例题选讲：利用级数的部分和数列讨论级数的敛散性：例1（讲义例1）讨论级数 的收敛性.例2（讲义例2）证明级数是发散的.例3（讲义例3）讨论等比级数(又称为几何级数) 的收敛性.注：几何级数是收敛级数中最著名的一个级数阿贝尔曾经指出“除了几何级数之外，数学中不存在任何一种它的和已被严格确定的无穷级数”几何级数在判断无穷级数的收敛性、求无穷级数的求和以及将一个函数展开为无穷级数等方面都有广泛而重要的应用.几何级数的增长速度令人震惊. 有一个关于古波斯国王的传说，他对一种新近发明的象棋游戏留下深刻印象，以至于他要召见那个发明人而且以皇宫的财富相赠. 当这个发明人一个贫困但却十分精通数学的农民被国王召见时，他只要求在棋盘的第一个方格里放一粒麦粒，第二个方格里放两粒麦粒，第三个方格里放四里麦粒，如此继续下去，直到整个棋盘都被覆盖上为止. 国王被这种朴素的要求所震惊，他立即命令拿来一袋小麦，他的仆人们开始耐心地在棋盘上放置麦粒，令他们十分吃惊的是，他们很快就发现袋子里的麦粒甚至整个王国的麦粒也不足以完成这项任务，因为级数的第64项是一个十分大的一个数：9223372036854775808. 如果我们设法把如此多的麦粒假设每个麦粒直径仅一毫米放在一条在直线上，这条线将长约两光年.线性运算性质的应用：例4（讲义例4）求级数的和.例5（讲义例5）证明调和级数 是发散的.注：当越来越大时，调和级数的项变得越来越小，然而,慢慢地非常漫漫地它的和将增大并超过任何有限值. 调和级数的这种特性使一代又一代的数学家困惑并为之着迷. 它的发散性是由法国学者尼古拉. 奥雷姆（1323-1382）在极限概念被完全理解之前约400年首次证明的. 下面的数字将有助于我们更好地理解这个级数. 这个级数的前一千项相加约为；前一百万项相加约为；前十亿项相加约为；前一万亿项相加约为等等. 更有学者估计过，为了使调和级数的和等于100，必须把项加起来，如果我们试图在一个很长的纸带上写下这个级数，直到它的和超过100，即使每个项只占1毫米长的纸带，也必须使用毫米长的纸带，这大约为光年