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几何证明选讲 1 2010 江苏卷 ab是 o的直径 d为 o上一点 过点d作 o的切线交ab延长线于c 若da dc 求证ab 2bc 解析 连结db do 因为dc为圆的切线 故 a cdb 因为ad dc 故 a c 于是 c cdb 从而 abd 2 c 且bd bc 因为ab为圆的直径 故 a abd 90 于是 a 30 从而ab 2bd 2bc 2 2010 江苏盐城三研 如图 在梯形abcd中 ad bc 点e f分别在边ab cd上 设ed与af相交于点g 若b c f e四点共圆 求证 ag gf dg ge 解析 连结ef 因为b c f e四点共圆 故 abc efd 因为ad bc 故 bad abc 180 于是 bad efd 180 所以 a d f e四点共圆 所以 ag gf dg ge 3 2010 江苏南京二模 如图 在 abc中 c 90 be是角平分线 de be交ab于d o是 bde的外接圆 1 求证 ac是 o的切线 2 如果ad 6 ae 6 求bc的长 解析 1 连结oe 因为oe ob 故 oeb obe 因为be平分 cbd 故 cbe dbe 于是 oeb cbe 所以 eo cb 因为 c 90 所以 aeo 90 即ac oe 所以ac是 o的切线 例1 如图 在 abc中 d为bc边的中点 e为ad上的一点 延长be交ac于点f 若的值 分析 本题主要检测相似三角形的判定及其性质 可通过构造相似三角形 利用相似三角形对应边的比将所求转化为已知边的比 例2 如图 pa pb分别切 o于a b两点 ac pb c在 o上 pc交 o于另一点e ae与pb交于k 1 证明pk kb 2 若bk 6 pe 8 求ke 变式2 如图 ab是 o的直径 ae平分 baf 交 o于点e 过点e作直线ed af 交af的延长线于点d 交ab的延长线于点c 1 求证 cd是 o的切线 2 若cb 2 ce 4 求ae的长 解析 连结oe 因为ae平分 baf 故 bae dae 因为oe oa 故 bae oea 于是 oea dae 所以oe ad 因为ad cd 故oe cd 于是cd是 o的切线 2 设r是 o的半径 则在rt ceo中 因为co2 oe2 ce2 故 2 r 2 r2 42 解得r 3 因为oe ad 故 ceo cda 1 定理是解题的基础 应熟练掌握三角形与圆中的一些重要定理 这些定理包括 相似三角形的判定和性质定理 直角三角形的射影定理 圆的切线的判定和性质定理 圆周角定理 弦切角定理 相交弦定理 割线定理 切割线定理 圆内接四边形的判定与性质定理 2 仔细读题 认真分析所给示意图 并将零乱的数据或条件尽可能地集中于某个三角形或某个圆内 进而集中精力破解该三角形或圆 3 注重解题规范 做到计算准确快捷 推理严密有据 平面几
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