（全国通用）2018年高考数学 考点一遍过 专题20 数列的概念与简单表示法（含解析）文.doc

考点20数列的概念与简单表示法（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）.（2）了解数列是自变量为正整数的一类函数.一、数列的相关概念1数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项，排在第二位的数称为这个数列的第2项排在第n位的数称为这个数列的第n项所以，数列的一般形式可以写成简记为2数列与函数的关系数列可以看成定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数，当自变量按照由小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值由于数列是特殊的函数，因此可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等,此时要注意数列的定义域为正整数集（或其有限子集）这一条件.3数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数有限的数列，如数列1，2，3，4，5，7，8，9，10无穷数列项数无限的数列，如数列1，2， 3，4，按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项，如数列1，3，5，7，9，递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项，如数列10，9，8，7，6，5，常数列各项都相等的数列，如数列2，2，2，2，摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，如1，2，1，2按项的有界性有界数列任一项的绝对值都小于某一正数，如1，1，1，1，1，1，无界数列不存在某一正数能使任一项的绝对值小于它，如2，4，6，8，10，二、数列的表示方法（1）列举法：将数列中的每一项按照项的序号逐一写出，一般用于“杂乱无章”且项数较少的情况（2）解析法：主要有两种表示方法，通项公式：如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即递推公式：如果已知数列的第一项(或前几项)，且任一项与它的前一项 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式（3）图象法：数列是特殊的函数，可以用图象直观地表示数列用图象表示时，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标描点画图由此可知，数列的图象是无限个或有限个孤立的点三、数列的前n项和与通项的关系数列的前n项和通常用表示，记作，则通项若当时求出的也适合时的情形，则用一个式子表示，否则分段表示考向一已知数列的前几项求通项公式1常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法具体策略：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征；化异为同对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；对于符号交替出现的情况，可用或处理根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想.2常见的数列的通项公式：（1）数列1，2，3，4，的通项公式为；（2）数列2，4，6，8，的通项公式为；（3）数列1，4，9，16，的通项公式为；（4）数列1，2，4，8，的通项公式为；（5）数列1，的通项公式为；（6）数列，的通项公式为3根据图形特征求数列的通项公式，首先要观察图形，寻找相邻的两个图形之间的变化，其次要把这些变化同图形的序号联系起来，发现其中的规律，最后归纳猜想出通项公式典例1写出下列数列的一个通项公式:（1）；（2）a,b,a,b,a,b, (其中a,b为实数)；（3）.【解析】（1）数列各项的绝对值为连续的正偶数：2,4,6,8,10, ,且奇数项为正,偶数项为负,所以它的一个通项公式为.（2）这是一个摆动数列,奇数项为a,偶数项为b,所以它的一个通项公式为an=.（3）变换数列的各项为,各项分母为13,24,35,46, ,第n项分母为n(n+2),所以数列的一个通项公式是.典例2如图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖_块（用含n的代数式表示）【答案】4n+8从具体数中，我们要抽象出瓷砖的块数与图形的个数之间的关系，就需要对3、4、5这几个数字进行进一步的变形，用序列号1、2、3来表示，这样12，我们又可以写为12=（1+2）4，16又可以写为16=（2+2）4，20我们又可以写为20=（3+2）4，注意到1、2、3恰好是图形的序列号，而2、4在图中都是确定的，因此，我们可以从图中概括出第n个图有（n+2）4，也就是有（4n+8）块黑色的瓷砖.1数列1，的一个通项公式是a bc d考向二利用与的关系求通项公式已知求的一般步骤：（1）先利用求出；（2）用替换中的n得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写.利用求通项公式时，务必要注意这一限制条件，所以在求出结果后，要看看这两种情况能否整合在一起典例3设数列an的前n项和为sn,sn=(n),且a4=54,求数列an的通项公式.【解析】因为a4=s4-s3=,所以a1=2,典例4已知数列的前项和为，且满足，（1）求的值；（2）求数列的通项公式【解析】（1）, ,，（2）由, 得数列是首项为, 公差为的等差数列，当时, 而适合上式，2已知数列an的前n项和为sn，若sn=n2+2n-1，求数列an的通项公式.考向三由递推关系式求通项公式递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项.高考对递推公式的考查难度适中，一般是通过变换转化成特殊的数列求解.已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法如下：（1）：常用累加法，即利用恒等式求通项公式（2）：常用累乘法，即利用恒等式求通项公式（3）（其中为常数，）：先用待定系数法把原递推公式转化为，其中，进而转化为等比数列进行求解（4）：两边同时除以，然后可转化为类型3，利用待定系数法进行求解；两边同时除以，然后可转化为类型1，利用累加法进行求解（5）：把原递推公式转化为，解法同类型3（6）：把原递推公式两边同时取对数，然后可转化为类型3，利用待定系数法进行求解（7）：把原递推公式两边同时取倒数，然后可转化为类型3，利用待定系数法进行求解（8）：易得，然后分n为奇数、偶数两种情况分类讨论即可（9）：易得，然后分n为奇数、偶数两种情况分类讨论即可典例5已知数列an中,a1=1,an=n(an+1-an)(n).求数列an的通项公式.以上各式两边分别相乘,得.又a1=1,an=n(n2).a1=1也适合上式,an=n.方法二(迭代法)由知,则an=a1a2a1a3a2a4a3an-1an-2anan-1=1213243n-1n-2nn-1=n.典例6已知数列an中,a1=1；数列bn中,b1=0.当n2时,an=(2an-1+bn-1),bn=(an-1+2bn-1),求an,bn.【解析】因为an+bn=(2an-1+bn-1)+(an-1+2bn-1)=an-1+bn-1,所以an+bn=an-1+bn-1=an-2+bn-2=a2+b2=a1+b1=1,即an+bn=1 .又an-bn=(2an-1+bn-1)-(an-1+2bn-1)=(an-1-bn-1),所以an-bn=(an-1-bn-1)=()2(an-2-bn-2)=(13)n-1(a1-b1)=(13)n-1.即an-bn=()n-1 .由得an=1+()n-1，bn=1-()n-1.3已知，则数列的通项公式等于abcd考向四 数列的性质数列可以看作是一类特殊的函数，所以数列具备函数应有的性质，在高考中常考查数列的单调性、周期性等.1数列的周期性先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值2数列的单调性（1）数列单调性的判断方法：作差法：数列是递增数列；数列是递减数列；数列是常数列作商法：当时，数列是递增数列；数列是递减数列；数列是常数列当时，数列是递减数列；数列是递增数列；数列是常数列（2）数列单调性的应用：构造函数，确定出函数的单调性，进而可求得数列中的最大项或最小项根据可求数列中的最大项；根据可求数列中的最小项当解不唯一时，比较各解对应的项的大小即可（3）已知数列的单调性求解某个参数的取值范围，一般有两种方法：利用数列的单调性构建不等式，然后将其转化为不等式的恒成立问题进行解决，也可通过分离参数将其转化为最值问题处理；利用数列与函数之间的特殊关系，将数列的单调性转化为相应函数的单调性，利用函数的性质求解参数的取值范围，但要注意数列通项中n的取值范围典例7已知数列，其通项公式为，判断数列的单调性方法二：，则即数列是递增数列（注：这里要确定的符号，否则无法判断与的大小）方法三：令，则函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为，则函数在上单调递增，故数列是递增数列典例8已知数列an中，a1=1，其前n项和为sn，且满足2sn=(n+1)an（1）求数列an的通项公式；（2）记，若数列bn为递增数列，求的取值范围（2）bn=3n-n2.bn+1-bn=3n+1-(n+1)2-(3n-n2)=23n-(2n+1).数列bn为递增数列，23n-(2n+1)0，即.令，则.cn为递增数列，c1=2，故的取值范围为(-,2) 4已知数列an的通项公式是an=(n+2)()n(nn*),试问数列an有没有最大项?若有,求出最大项;若没有,说明理由.1不能作为数列2,0,2,0,的通项公式的是 aan=1+(-1)n+1 ban=1-(-1)ncan=1+(-1)n dan=1-cos n2在数列中,则=abcd33数列an的前n项和sn=2n2-3n，则an的通项公式为a4n-5b4n-3c2n-3d2n-14如图，给出的3个三角形图案中圆的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的一个通项公式是abcd5已知函数f(x)=,若数列an满足an=f(n)(nn*),且an是递增数列,则实数a的取值范围是a(1,3)b(2,3)cd6传说古希腊毕达哥拉斯(pythagoras,约公元前570年公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.根据下列四个图形及相应的正方形的个数的变化规律,第n个图形中有_个正方形.7数列满足，则_8数列中的最大项是.9已知an是递增数列,且对任意的自然数n(n1),都有恒成立,则实数的取值范围为.10在数列an中,a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=的图象上.（1）求a2,a3,a4的值;（2）猜想数列的一个通项公式.11已知数列an的通项公式an=n2-7n-8.（1）数列中有多少项为负数?（2）数列an是否有最小项?若有,求出其最小项.12已知数列满足，求数列的前6项及通项公式13已知数列满足，其前n项和，求其通项公式1（2015江苏）数列an满足a1=1且an+1-an=n+1(nn*),则数列的前10项和为 .2（2017新课标全国文科节选）设数列满足，求的通项公式.变式拓展1【答案】d【解析】a中，b中，c中，d中，因此排除a、b、c，故选d3【答案】c【解析】，当n2时，经检验，也符合上述通项公式.故选c.4【解析】方法一：作差比较an+1与an,判断an的单调性.an+1-an=(n+3)()n+1-(n+2)()n=()n5-n8.当n0,即an+1an;当n=5时,an+1-an=0,即an+1=an;当n5时,an+1-an0,即an+1an.故a1a2a3a4a7a8,所以数列an有最大项,且最大项为a5=a6=.方法二：作商比较an+1与an,判断an的单调性.又an0,令1,解得n5;令=1,解得n=5;令5.故有a1a2a3a4a7,所以数列an有最大项,且最大项为a5=a6=.方法三：解不等式.假设an中有最大项,且最大项为第n项,则,n2,即,解得,即5n6.故数列an有最大项a5和a6,且a5=a6=. 考点冲关1【答案】c【解析】验证易知,只有c选项中的式子不能作为已知数列的通项公式.2【答案】b【解析】因为=-2,，所以，.可知数列是以4为周期的数列，所以故选b.3【答案】a【解析】因为sn=2n2-3n，所以当n2时，sn-1=2(n-1)2-3(n-1),两式相减可得an=sn-sn-1=4n-5，又当n=1时，a1=s1=-1,满足上式，故选a.4【答案】d5【答案】b【解析】因为an是递增数列,所以函数f(x)单调递增.当x7时,f(x)=3-ax-3单调递增,可得3-a0,解得a7时,f(x)=ax-6单调递增,可得a1，所以1a3.而an(nn*)是递增数列,所以f(7)=73-a-32，所以,即实数a的取值范围是(2,3).故选b.6【答案】【解析】设数列为an，由图知，a1=1，a2=1+2，a3=1+2+3，a4=1+2+3+4，所以由此猜想：,故填.7【答案】【解析】由已知得，所以，8【答案】【解析】设an=,显然an0.则,令an+1an1,得(n+1)22n2,整理得n2-2n-10,解得n2+1,因为nn*,所以n2.当n2,且nn*时,有an+1an;当n2,且nn*时,有an+1an,即第3项最大,所以最大项为a3=.9【答案】(-3,+)10【解析】（1）因为点(